Tại một khu di tích vào ngày lễ hội hằng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham quan được biểu diễn bằng hàm số $Q^{\prime }(t)=4t^3-72t^2+288t$, trong đó $t$ tính bằng giờ $(0\le t\le 13)$, $Q^{\prime }(t)$ tính bằng khách/giờ (Nguồn: R.Larson and B.Eawads, Calculus 10e, Cengage). Sau 2 giờ đã có 500 người có mặt.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $Q^{\prime }(t)=4t^3-72t^2+288t$ là $Q(t)=t^4-24t^3+144t^2+C$. Vì $Q(2)=16-192+576+C=400+C=500$ nên $C=100$, tức $Q(t)=t^4-24t^3+144t^2+100$.
a) Sai: thiếu hằng số $C=100$.
b) $Q(5)=625-3000+3600+100=1325$ người → đúng.
c) $Q^{\prime }(t)=4t(t-6)(t-12)$; xét $Q(0)=100$, $Q(6)=1396$, $Q(12)=100$, $Q(13)=329$ → lượng khách lớn nhất là $1396$ người, không phải $1296$ → sai.
d) $Q^{\prime \prime }(t)=12t^2-144t+288=12(t^2-12t+24)$, đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $t=6-2\sqrt{3}\approx 2,54$ và từ $-$ sang $+$ tại $t=6+2\sqrt{3}\approx 9,46$. Vậy $Q^{\prime }$ đạt lớn nhất tại $t=6-2\sqrt{3}$, không phải $t=6$ (thực tế $Q^{\prime }(6)=0$) → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm tổng quát là $Q(t)=t^4-24t^3+144t^2+C$; từ $Q(2)=500$ suy ra $C=100$, nên $Q(t)=t^4-24t^3+144t^2+100$, khẳng định thiếu $+100$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$Q(5)=5^4-24\cdot 5^3+144\cdot 5^2+100=625-3000+3600+100=1325$ người.
c) (AI giải đề cho tôi)
$Q^{\prime }(t)=4t(t-6)(t-12)$. So sánh $Q(0)=100$, $Q(6)=1396$, $Q(12)=100$, $Q(13)=329$: giá trị lớn nhất là $1396$ người, không phải $1296$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$Q^{\prime \prime }(t)=12(t^2-12t+24)$ đổi dấu từ dương sang âm tại $t=6-2\sqrt{3}\approx 2,54$, nên $Q^{\prime }$ đạt lớn nhất tại $t=6-2\sqrt{3}$; tại $t=6$ thì $Q^{\prime }(6)=0$.