Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đại lượng tích lũy (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=x^{\prime }(t)=3t^2+2at+b$ có nghiệm $t=1$ và $t=3$, nên $v(t)=3(t-1)(t-3)=3t^2-12t+9$, suy ra $a=-6,b=9$. Vậy $x(t)=t^3-6t^2+9t$. Ta có $x(0)=0$, $x(1)=4$, $x(3)=0$. Với $t>3$ thì $v(t)>0$ nên vật đi theo chiều dương: $x(20)=8000-2400+180=5780$. Tổng quãng đường trong 20 giây đầu: từ $t=0$ đến $t=1$ đi được $4$ m; từ $t=1$ đến $t=3$ đi lùi $4$ m; từ $t=3$ đến $t=20$ đi được $5780$ m. Tổng $=4+4+5780=5788$ (m).

(AI giải đề cho tôi)
N(t)=∫(4t³−30t²+500t)dt=t⁴−10t³+250t²+C. Với N(1)=300: 1−10+250+C=300 ⇒ C=59. Lúc 12 giờ trưa tương ứng t=4: N(4)=256−640+4000+59=3675 khách. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Hàm vận tốc tức thời là đạo hàm của tọa độ: $v(t)=s^{\prime }(t)=-3t^2+12t-9=-3(t-1)(t-3)$ (m/s), $t\ge 0$.

b) Xét $v(t)=-3t^2+12t-9$ trên $[0;5]$. Ta có $v^{\prime }(t)=-6t+12=0\iff t=2$. So sánh: $v(0)=-9$, $v(2)=3$, $v(5)=-18$. Vậy vận tốc tức thời lớn nhất bằng $3$ m/s, đạt tại $t=2$ giây.

c) $v(t)=-3(t-1)(t-3)$: $v(t)\ge 0$ trên $[0;1]\cup [3;5]$ và $v(t)<0$ trên $(1;3)$, nên vật đổi chiều tại $t=1$ và $t=3$.
Tọa độ: $s(0)=3$, $s(1)=-1+6-9+3=-1$, $s(3)=-27+54-27+3=3$, $s(5)=-125+150-45+3=-17$.
Quãng đường: $S=|s(1)-s(0)|+|s(3)-s(1)|+|s(5)-s(3)|=4+4+20=28$ m.

Đáp án bảng mã đề 2102, câu 15: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng (DDSD). Lưu ý: chữ "Đ." in sẵn sau mệnh đề a) trong bản gốc đề, có thể là đáp án bị in lẫn vào đề.

(AI giải đề cho tôi)
Gia tốc $a=0,004t$ nên $v(t)=\int 0,004tdt=0,002t^2$ (m/s) vì $v(0)=0$.

b) Sai: $v=0,002t^2=2\cdot 10^{-3}{t}^2$, còn $4\cdot 10^{-3}{t}^2$ chính là gia tốc $a$, không phải vận tốc.

c) Đúng: $v(90)=0,002\cdot 90^2=16,2$ m/s $=16,2\cdot 3,6=58,32$ km/h.

d) Đúng: Đoàn tàu đi qua cái cây trong 60 giây nghĩa là quãng đường đầu tàu đi được bằng chiều dài đoàn tàu: $l={\int }_0^{60}0,002t^{2}dt=\frac{0,002\cdot 60^3}{3}=144$ m.

a) Sai: Khi chuyển động đều với $v=16,2$ m/s, để đi qua cầu dài 486 m, đoàn tàu phải đi được $486+144=630$ m, thời gian $t=\frac{630}{16,2}\approx 38,89$ giây $\ne 30$ giây. (Số 30 giây chỉ thu được nếu bỏ qua chiều dài đoàn tàu: $486/16,2=30$.)
a) (AI giải đề cho tôi)
Thời gian đi qua cầu dài 486 m với vận tốc 16,2 m/s là (486+144)/16,2 ≈ 38,89 giây, không phải 30 giây.
b) (AI giải đề cho tôi)
v(t)=∫0,004t dt=0,002t² (m/s), không phải 4·10⁻³t² (đó là gia tốc).
c) (AI giải đề cho tôi)
v(90)=0,002·8100=16,2 m/s=58,32 km/h.
d) (AI giải đề cho tôi)
l=∫₀⁶⁰0,002t²dt=0,002·60³/3=144 m.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P(t)=500+{\int }_0^t(as+b\sqrt{s})ds=500+\frac{a{t}^2}{2}+\frac{2b}{3}{t}^{3/2}$. Theo đề: $P(1)=600\Rightarrow \frac{a}{2}+\frac{2b}{3}=100$ và $P(4)=1300\Rightarrow 8a+\frac{16b}{3}=800$. Giải hệ: từ phương trình đầu $a=200-\frac{4b}{3}$, thay vào: $1600-\frac{32b}{3}+\frac{16b}{3}=800\Rightarrow b=150$, suy ra $a=0$. Vậy $P(t)=500+100t^{3/2}$, do đó $P(9)=500+100\cdot 27=3200$. Đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn gốc thời gian t=0 là lúc xe B bắt đầu chạy. Quãng đường xe A đi được: s_A(t)=40+∫0^t 15e^{-0.1s}ds=40+150(1-e^{-0.1t}). Quãng đường xe B: s_B(t)=∫0^t (20-20e^{-0.1s})ds=20t+200(e^{-0.1t}-1). Xe B đuổi kịp khi s_A=s_B: 40+150-150e^{-0.1t}=20t+200e^{-0.1t}-200 ⟺ 20t+350e^{-0.1t}=390. Thử: t=15 cho 300+350e^{-1.5}≈377,97<390; t=16 cho 320+350e^{-1.6}≈390,66>390, nên thời điểm bắt kịp t≈15,9 giây. a) Sai vì xe B vượt xe A tại t≈15,9>13 giây. b) Đúng: v1'(t)=-1,5e^{-0.1t}<0 nên tốc độ xe A giảm dần; v2'(t)=2e^{-0.1t}>0 nên tốc độ xe B tăng dần. c) Sai vì xe B bắt kịp xe A tại t≈15,9 giây, nằm trong khoảng thử nghiệm 0≤t≤60. d) Sai vì v2(0)=20-20=0 m/s, không phải 20 m/s.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giải 20t+350e^{-0.1t}=390 được t≈15,9 giây >13, nên xe B không vượt xe A trước 13 giây.
b) (AI giải đề cho tôi)
v1'(t)=-1,5e^{-0.1t}<0 (giảm dần), v2'(t)=2e^{-0.1t}>0 (tăng dần).
c) (AI giải đề cho tôi)
Xe B bắt kịp xe A tại t≈15,9 giây, nằm trong khoảng 0≤t≤60.
d) (AI giải đề cho tôi)
v2(0)=20-20e^0=0 m/s, không phải 20 m/s.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P(0)=500$. Vì $P^{\prime }(t)=at+b\sqrt{t}$ nên $P(t)=500+\frac{a{t}^2}{2}+\frac{2b}{3}{t}^{3/2}$.

Từ $P(1)=600$: $\frac{a}{2}+\frac{2b}{3}=100$.

Từ $P(4)=1300$: $8a+\frac{16b}{3}=800$.

Từ phương trình đầu: $a=200-\frac{4b}{3}$. Thay vào: $8\left(200-\frac{4b}{3}\right)+\frac{16b}{3}=800\Rightarrow 1600-\frac{16b}{3}=800\Rightarrow b=150$, suy ra $a=0$.

Vậy $P^{\prime }(t)=150\sqrt{t}$ và $P(9)=500+\frac{2\cdot 150}{3}\cdot 9^{3/2}=500+100\cdot 27=3200$.

(AI giải đề cho tôi)
Tốc độ ban đầu 36 km/h = 10 m/s. Ô tô đi đều 2 giây đầu: quãng đường 20 m. Khi bắt đầu tăng tốc, v(t)=at+b với b=10 (v(0)=10). Ô tô nhập làn sau 12 giây kể từ lúc cách điểm nhập 200 m, tức sau 10 giây tăng tốc, và quãng đường đến điểm nhập là 200 m nên quãng đường trong 10 giây tăng tốc là 180 m: ∫₀¹⁰(at+10)dt = 50a+100 = 180 ⟹ a = 1,6 m/s².
a) Vận tốc lúc nhập làn: v(10)=10+1,6·10=26 m/s = 93,6 km/h ≠ 72 km/h ⟹ Sai.
b) Tốc độ cao nhất: v(24)=10+1,6·24=48,4 m/s. Đi 5 giây: 242 m, còn cách chướng ngoại vật 300−242=58 m. Quãng đường phanh đến khi dừng: v²/(2·3)=48,4²/6≈390,4 m > 58 m, ô tô không thể dừng trước chướng ngoại vật (sẽ va chạm), nên không thể dừng cách 10 m ⟹ Sai.
c) Quãng đường 30 giây đầu: 20 m (2 s đầu) + 700,8 m (24 s tăng tốc: 0,8·24²+10·24=460,8+240) + 193,6 m (4 s với 48,4 m/s) = 914,4 m ≠ 620 m ⟹ Sai.
d) Quãng đường từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn: 200−20=180 m ⟹ Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với a=1,6 m/s², vận tốc lúc nhập làn v(10)=26 m/s=93,6 km/h, không phải 72 km/h.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tốc độ cao nhất 48,4 m/s; đi 5 s được 242 m, còn 58 m. Quãng đường phanh v²/6≈390,4 m > 58 m nên ô tô không dừng lại cách chướng ngoại vật 10 m.
c) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường 30 giây là 20+700,8+193,6=914,4 m, không phải 620 m.
d) (AI giải đề cho tôi)
2 giây đầu đi 20 m với 10 m/s; tổng quãng đường đến điểm nhập là 200 m nên quãng đường từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 180 m.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $B^{\prime }(t)=-4t^3+72t^2-320t+384=-4(t-2)(t-4)(t-12)$, với $t\in [0;15]$ (tính từ 8h00). Xét dấu: $B^{\prime }(t)>0$ trên $[0;2)\cup (4;12)$ và $B^{\prime }(t)<0$ trên $(2;4)\cup (12;15]$. Vậy $B(t)$ tăng trên $[0;2]$, giảm trên $[2;4]$, tăng trên $[4;12]$, giảm trên $[12;15]$; số khách nhiều nhất tại $t=12$ (tức 20 giờ).

Nguyên hàm: $B(t)=-t^4+24t^3-160t^2+384t+C$. Vì $t=1$ ứng với 9h00 và $B(1)=300$: $-1+24-160+384+C=300\Rightarrow C=53$.

Tính: $B(2)=357$, $B(4)=309$, $B(12)=-20736+41472-23040+4608+53=2357$, $B(15)=188$. Vậy tại thời điểm đông nhất (20h00), hội chợ có $2357$ khách.

(AI giải đề cho tôi)
a) Xe dừng khi v(t)=0 ⟹ -8t+20=0 ⟹ t=2,5 giây. Đúng. b) Quãng đường là nguyên hàm của vận tốc: s(t)=∫v(t)dt, không phải s(t)=v'(t). Sai. c) s(t)=∫₀ᵗ(-8u+20)du=-4t²+20t. Đúng. d) Trong 1 giây phản ứng, xe đi 20·1=20 m. Quãng đường phanh đến khi dừng: s(2,5)=-4·6,25+20·2,5=-25+50=25 m. Tổng quãng đường 45 m, còn cách chướng ngại vật 50-45=5 m, không phải 6 m. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
v(t)=0 ⟹ t=20/8=2,5 giây.
b) (AI giải đề cho tôi)
s(t) là nguyên hàm của v(t): s(t)=∫v(t)dt, còn v'(t) là gia tốc.
c) (AI giải đề cho tôi)
s(t)=∫₀ᵗ(-8u+20)du=-4t²+20t.
d) (AI giải đề cho tôi)
Phản ứng 1 giây: 20 m; phanh: s(2,5)=25 m; tổng 45 m; còn 50-45=5 m.

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân T1'(t)=75e^{-t} với T1(0)=20 cho T1(t)=95-75e^{-t} (ý c đúng). Nước đạt 85°C khi 95-75e^{-t}=85, tức e^{-t}=2/15, t=ln(7.5)≈2,0149 phút ≈ 121 giây, không phải 180 giây (ý a sai). Khi tắt bếp a=85-15=70 (ý d đúng), T2(t)=15+70e^{-t/20}. T2(t)=40 khi e^{-t/20}=5/14, t=20ln(14/5)≈20,52 phút ≈ 21 phút kể từ lúc tắt bếp (tổng từ lúc bật bếp ≈ 22,5 phút ≈ 23 phút), không phải 25 phút (ý b sai). Kết quả SSĐĐ khớp đáp án nguồn (mã 104).
a) (AI giải đề cho tôi)
T1(t)=95-75e^{-t}=85 ⟹ t=ln(7.5)≈2,0149 phút ≈ 121 giây, không phải 180 giây.
b) (AI giải đề cho tôi)
T2(t)=15+70e^{-t/20}=40 ⟹ t=20ln(14/5)≈20,52 phút ≈ 21 phút kể từ lúc tắt bếp (tổng từ lúc bật bếp ≈ 23 phút), không phải 25 phút.
c) (AI giải đề cho tôi)
T1(t)=∫75e^{-t}dt=-75e^{-t}+C, T1(0)=20 ⟹ C=95, nên T1(t)=95-75e^{-t}.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tại lúc tắt bếp T2(0)=85 ⟹ 15+a=85 ⟹ a=70.

(AI giải đề cho tôi)
a) T1(0)=20°C nên T1(t)=20+∫0..t 75e^{-s}ds=20+75(1-e^{-t})=95-75e^{-t}. Đúng.
b) Nước đạt 85°C khi 95-75e^{-t}=85 ⟹ e^{-t}=2/15 ⟹ t=ln(7.5)≈2,0149 phút. Sau đó T2(t)=15+70e^{-t/20}; nhiệt độ xuống 40°C khi 15+70e^{-t/20}=40 ⟹ e^{-t/20}=5/14 ⟹ t=20ln(14/5)≈20,59 phút. Tổng thời gian từ lúc bật bếp ≈ 2,01+20,59 ≈ 22,6 ≈ 23 phút, không phải 25 phút. Sai.
c) Thời gian đạt 85°C là t=ln(7.5)≈2,0149 phút ≈ 121 giây, không phải 180 giây (T1(3)=95-75e^{-3}≈91,3°C). Sai.
d) T2(0)=85 ⟹ 15+a=85 ⟹ a=70. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
T1(0)=20 và T1'(t)=75e^{-t} nên T1(t)=20+75(1-e^{-t})=95-75e^{-t}.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nước đạt 85°C sau t=ln(7.5)≈2,01 phút; sau đó xuống 40°C sau 20ln(14/5)≈20,59 phút; tổng ≈22,6≈23 phút, không phải 25 phút.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thời gian đạt 85°C là ln(7.5)≈2,0149 phút ≈ 121 giây, không phải 180 giây.
d) (AI giải đề cho tôi)
T2(0)=85 ⟹ 15+a=85 ⟹ a=70.

(AI giải đề cho tôi)
Sau năm đầu tiên ($x=1$) cây cao $h(1)=3$ m. Với $x\ge 1$, tốc độ phát triển là $h^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{2}}{x}$. Chiều cao tăng thêm từ năm thứ 1 đến năm thứ 5 là:
$$h(5)-h(1)={\int }_1^5\frac{\sqrt{2}}{x}dx=\sqrt{2}\ln x{|}_1^5=\sqrt{2}\ln 5.$$
Vậy $h(5)=3+\sqrt{2}\ln 5\approx 3+1,4142\cdot 1,6094\approx 3+2,2761=5,2761\approx 5,28$ m. Kết quả khớp với đáp án nguồn 5,28.

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân T1'(t)=75e^{-t} với T1(0)=20 cho T1(t)=20+75(1-e^{-t})=95-75e^{-t} (ý b đúng). T1(t)=85 ⟺ e^{-t}=2/15 ⟹ t=ln(7.5)≈2,0149 phút ≈ 121 giây, không phải 180 giây (ý a sai). Tại lúc tắt bếp T2(0)=85 ⟹ 15+a=85 ⟹ a=70 (ý d đúng). Sau khi tắt bếp: 15+70e^{-t/20}=40 ⟹ e^{-t/20}=5/14 ⟹ t=20ln(14/5)≈20,52 phút; tổng thời gian từ lúc bật bếp ≈ 2,01+20,52≈22,53 ≈ 23 phút, không phải 25 phút (ý c sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
T1(t)=95-75e^{-t}=85 ⟹ t=ln(7,5)≈2,0149 phút ≈ 121 giây, không phải 180 giây.
b) (AI giải đề cho tôi)
T1(t)=20+∫0^t 75e^{-s}ds=20+75(1-e^{-t})=95-75e^{-t}.
c) (AI giải đề cho tôi)
Sau khi tắt bếp: 15+70e^{-t/20}=40 ⟹ t=20ln(14/5)≈20,52 phút; tổng từ lúc bật bếp ≈ 2,01+20,52≈22,53 ≈ 23 phút, không phải 25 phút.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tại lúc tắt bếp T2(0)=85 ⟹ 15+a=85 ⟹ a=70.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $T_1^{\prime }(t)=75e^{-t}$, $T_1(0)=20$ nên $T_1(t)=20+{\int }_0^{t}75e^{-u}du=20+75(1-e^{-t})=95-75e^{-t}$ → c) đúng.
a) Tại lúc tắt bếp $T_2(0)=85=15+a\Rightarrow a=70$ → đúng.
b) $95-75e^{-t}=85\Rightarrow e^{-t}=2/15\Rightarrow t=\ln 7.5\approx 2,015$ phút $\approx 121$ giây, không phải 180 giây → sai.
d) Nước đạt 85°C tại $t_1=\ln 7.5\approx 2,015$ phút. Sau đó $T_2(s)=15+70e^{-s/20}=40\Rightarrow e^{-s/20}=5/14\Rightarrow s=20\ln (14/5)\approx 20,59$ phút. Tổng $\approx 22,6\approx 23$ phút, không phải 25 phút → sai. Khớp đáp án ĐSDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tại lúc tắt bếp nước đạt 85°C nên $T_2(0)=85=15+a\Rightarrow a=70$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$95-75e^{-t}=85\Rightarrow t=\ln 7.5\approx 2,015$ phút $\approx 121$ giây, không phải 180 giây.
c) (AI giải đề cho tôi)
$T_1(t)=20+{\int }_0^{t}75e^{-u}du=95-75e^{-t}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng thời gian $=\ln 7.5+20\ln (14/5)\approx 22,6\approx 23$ phút, không phải 25 phút.

a) Vận tốc hạt: $v(t)=x^{\prime }(t)=1-\frac{2}{t+1}$ (Sai).
b) Vận tốc ban đầu: $v(0)=1-\frac{2}{1}=-1(m/s)$. (Sai)
c) Vận tốc tức thời tại t = 1 (s): $v(1)=1-\frac{2}{1+1}=0(m/s)$. (Đúng)
d) Quãng đường đi được trong 4 s đầu:
$$s=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left|v(t)dt\right|=\left|\underset{0}{\overset{1}{\int }}v(t)dt\right|+\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left|v(t)\right|dt=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\frac{2}{t+1}-1\right)dt+\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(1-\frac{2}{t+1}\right)dt=1,55(m).(\text{Đuˊng})$$
a) Vận tốc hạt: $v(t)=x^{\prime }(t)=1-\frac{2}{t+1}$ (Sai).
b) Vận tốc ban đầu: $v(0)=1-\frac{2}{1}=-1(m/s)$. (Sai)
c) Vận tốc tức thời tại t = 1 (s): $v(1)=1-\frac{2}{1+1}=0(m/s)$. (Đúng)
d) Quãng đường đi được trong 4 s đầu:
$$s=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left|v(t)dt\right|=\left|\underset{0}{\overset{1}{\int }}v(t)dt\right|+\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left|v(t)\right|dt=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\frac{2}{t+1}-1\right)dt+\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(1-\frac{2}{t+1}\right)dt=1,55(m).(\text{Đuˊng})$$

(AI giải đề cho tôi)
Từ $x(t)=t-2\ln (t+1)$ ta có $v(t)=x^{\prime }(t)=1-\frac{2}{t+1}$ (với $t\ge 0$).
a) Sai: $v(t)=1-\frac{2}{t+1}$, không phải $2-\frac{3}{t+1}$.
b) Sai: $v(0)=1-2=-1$ m/s, không phải 2 m/s.
c) Đúng: $v(1)=1-\frac{2}{2}=0$ m/s.
d) Đúng: $v(t)=0\iff t=1$; $v(t)<0$ trên $[0;1)$ và $v(t)>0$ trên $(1;4]$. Quãng đường $S={\int }_0^4|v(t)|dt={\int }_0^1\left(\frac{2}{t+1}-1\right)dt+{\int }_1^4\left(1-\frac{2}{t+1}\right)dt$. Tính: $x(1)=1-2\ln 2\approx -0,3863$; $x(4)=4-2\ln 5\approx 0,7811$. Vậy $S=|x(1)-x(0)|+|x(4)-x(1)|\approx 0,3863+1,1674=1,5537\approx 1,55$ m.
a) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=x^{\prime }(t)=1-\frac{2}{t+1}$, không phải $2-\frac{3}{t+1}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$v(0)=1-\frac{2}{1}=-1$ m/s, không phải 2 m/s.
c) (AI giải đề cho tôi)
$v(1)=1-\frac{2}{2}=0$ m/s.
d) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=0$ tại $t=1$; $S={\int }_0^1\left(\frac{2}{t+1}-1\right)dt+{\int }_1^4\left(1-\frac{2}{t+1}\right)dt=|x(1)-x(0)|+|x(4)-x(1)|\approx 0,3863+1,1674\approx 1,55$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Giai đoạn trong chậu (0 ≤ t ≤ 4): $h(4)={\int }_0^4(0,2t+0,15)dt=\left(0,1t^2+0,15t\right){|}_0^4=0,1\cdot 16+0,6=2,2$ (m). Giai đoạn trồng xuống đất, sau 6 năm trồng xuống đất tức là $t=10$: $h(10)=h(4)+{\int }_4^{10}\frac{11}{t}dt=2,2+11\ln \frac{10}{4}=2,2+11\ln 2,5\approx 2,2+10,0792=12,2792\approx 12,3$ (m). Vậy chọn đáp án D, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $h(0)=0$, nguyên hàm của $h^{\prime }(t)=3a{t}^2+bt$ là $h(t)=a{t}^3+\frac{b}{2}{t}^2$. Từ $h(5)=150$: $125a+\frac{25}{2}b=150$. Từ $h(10)=1100$: $1000a+50b=1100$. Nhân phương trình đầu với 8: $1000a+100b=1200$, trừ phương trình thứ hai được $50b=100\Rightarrow b=2$, suy ra $125a+25=150\Rightarrow a=1$. Vậy $h(t)=t^3+t^2$ và $h(20)=8000+400=8400m^3$. Đáp án A.