Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$ (xác định với $x\ne -1$). Giao với trục tung: $x=0\Rightarrow y=-1$; giao với trục hoành: $y=0\Rightarrow x=1$. Trên đoạn $[0;1]$, đồ thị nằm dưới trục hoành (tại $x=0$, $y=-1<0$). Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và hai trục nằm trong khoảng $x\in [0;1]$, nên $$S={\int }_0^1\left(0-\frac{x-1}{x+1}\right)dx={\int }_0^1\left(\frac{2}{x+1}-1\right)dx={\left[2\ln (x+1)-x\right]}_0^1=2\ln 2-1.$$ Vậy $S=2\ln 2-1$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f(x)$ tiếp xúc trục hoành tại $x=-2$ và $x=1$, đạt cực đại tại $x=-1$ với $f(-1)=1$. Suy ra $f(x)=a(x+2{)}^2(x-1{)}^2$; vì $f(-1)=a\cdot 1\cdot 4=1$ nên $a=\frac{1}{4}$, tức $f(x)=\frac{1}{4}(x^2+x-2{)}^2$. Khi đó $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}(x^2+x-2)(2x+1)$, nên $f(x)-f^{\prime }(x)=\frac{1}{4}(x^2+x-2)(x^2-3x-4)$. Phương trình $f(x)=f^{\prime }(x)$ có nghiệm $x=-2,-1,1,4$. Xét dấu của $h(x)=f(x)-f^{\prime }(x)$: $h<0$ trên $(-2;-1)$, $h>0$ trên $(-1;1)$, $h<0$ trên $(1;4)$. Với nguyên hàm $F(x)=\frac{1}{20}{x}^5-\frac{1}{8}{x}^4-\frac{3}{4}{x}^3+\frac{1}{4}{x}^2+2x$, ta có $F(-2)=-\frac{3}{5}$, $F(-1)=-\frac{47}{40}$, $F(1)=\frac{57}{40}$, $F(4)=-\frac{84}{5}$. Diện tích: $$S=\left(F(-1)-F(-2)\right)\cdot (-1)+\left(F(1)-F(-1)\right)+\left(F(4)-F(1)\right)\cdot (-1)=\frac{23}{40}+\frac{104}{40}+\frac{729}{40}=\frac{856}{40}=\frac{107}{5}.$$ Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Biến đổi: $f^2(x)-2f(x)(3-x)={\left(f(x)-(3-x)\right)}^2-(3-x{)}^2$. Do đó ${\int }_{-1/2}^{1/2}{\left(f(x)-(3-x)\right)}^{2}dx={\int }_{-1/2}^{1/2}(3-x{)}^{2}dx+\left(-\frac{109}{12}\right)$. Tính ${\int }_{-1/2}^{1/2}(3-x{)}^{2}dx={\left[-\frac{(3-x{)}^3}{3}\right]}_{-1/2}^{1/2}=\frac{(7/2{)}^3-(5/2{)}^3}{3}=\frac{109}{12}$. Vậy tích phân của bình phương bằng $0$, suy ra $f(x)=3-x$ trên $[-1/2;1/2]$. Khi đó ${\int }_0^{1/2}\frac{3-x}{x^2-1}dx$. Phân tích $\frac{3-x}{x^2-1}=\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x+1}$. Nguyên hàm: $\ln |x-1|-2\ln |x+1|$. Tại $1/2$: $\ln \frac{1}{2}-2\ln \frac{3}{2}=\ln \frac{2}{9}$; tại $0$: $0$. Kết quả $\ln \frac{2}{9}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $6x^2-x-3=(2x+1)(3x-2)-1$, nên $\frac{6x^2-x-3}{2x+1}=3x-2-\frac{1}{2x+1}$. Do đó $I={\int }_1^3(3x-2)dx-\frac{1}{2}\ln (2x+1){|}_1^3=\left(\frac{27}{2}-6\right)-\left(\frac{3}{2}-2\right)-\frac{1}{2}\ln \frac{7}{3}=8-\frac{1}{2}\ln \frac{7}{3}=8+\frac{1}{2}\ln \frac{3}{7}$. Vậy $a=1,b=2,c=3,d=7$ (các phân số $\frac{1}{2},\frac{3}{7}$ tối giản), suy ra $ad-bc=1\cdot 7-2\cdot 3=1$. Khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính tuyến tính của tích phân: $I={\int }_2^4[3f(x)-5g(x)]\mathrm{d}x=3{\int }_2^{4}f(x)\mathrm{d}x-5{\int }_2^{4}g(x)\mathrm{d}x=3\cdot 10-5\cdot 5=30-25=5$. Vậy $I=5$, khớp với đáp án nguồn (Câu 17: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt=\frac{a{x}^3}{3}+\frac{b{x}^2}{2}+cx$. Điều kiện bài cho cho hệ:
$$\{\begin{array}{l}\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+c=-\frac{7}{2}\\ \frac{8a}{3}+2b+2c=-2\\ 9a+\frac{9b}{2}+3c=\frac{13}{2}\end{array}$$
Nhân lần lượt với 6, 3, 2:
$$\{\begin{array}{l}2a+3b+6c=-21\\ 8a+6b+6c=-6\\ 18a+9b+6c=13\end{array}$$
Trừ phương trình thứ nhất khỏi thứ hai: $6a+3b=15\Rightarrow 2a+b=5$. Trừ phương trình thứ hai khỏi thứ ba: $10a+3b=19$. Suy ra $4a=4\Rightarrow a=1$, $b=3$, rồi $2+9+6c=-21\Rightarrow c=-\frac{16}{3}$.
Kiểm tra: ${\int }_0^2=\frac{8}{3}+6-\frac{32}{3}=-2$ đúng; ${\int }_0^3=9+\frac{27}{2}-16=\frac{13}{2}$ đúng.
Vậy $P=a+b+c=1+3-\frac{16}{3}=-\frac{4}{3}$, trùng với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Biểu thức trong dấu căn: $\frac{1}{4x}+\frac{\sqrt{x}+e^x}{\sqrt{x}{e}^{2x}}=\frac{1}{4x}+\frac{1}{e^{2x}}+\frac{1}{\sqrt{x}{e}^x}={\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{e^x}\right)}^2$. Vậy tích phân $={\int }_1^4\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+e^{-x}\right)dx={\left[\sqrt{x}-e^{-x}\right]}_1^4=(2-e^{-4})-(1-e^{-1})=1+e^{-1}-e^{-4}$. Suy ra $a=1,b=-1,c=-4$, nên $T=abc=1\cdot (-1)\cdot (-4)=4$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $h(x)=f(x)-g(x)=a{x}^3+(b-d)x^2+(c-e)x-4$. Vì hai đồ thị cắt nhau tại $x=-2,-1,1$ nên $h(x)=k(x+2)(x+1)(x-1)$. So sánh hệ số tự do: $k\cdot 2\cdot 1\cdot (-1)=-4\Rightarrow k=2$, thus $h(x)=2(x+2)(x+1)(x-1)=2x^3+4x^2-2x-4$. Xét dấu: trên $(-2,-1)$, $h(x)>0$; trên $(-1,1)$, $h(x)<0$. Nguyên hàm: $F(x)=\frac{x^4}{2}+\frac{4x^3}{3}-x^2-4x$. Ta có $F(-2)=\frac{4}{3}$, $F(-1)=\frac{13}{6}$, $F(1)=-\frac{19}{6}$. Diện tích: $S={\int }_{-2}^{-1}h(x)dx-{\int }_{-1}^{1}h(x)dx=\left(\frac{13}{6}-\frac{4}{3}\right)+\left(\frac{13}{6}+\frac{19}{6}\right)=\frac{5}{6}+\frac{16}{3}=\frac{37}{6}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-3x^2+4=7x+19\iff x^3-3x^2-7x-15=0\iff (x-5)(x^2+2x+3)=0$. Chỉ có nghiệm thực $x=5$ (vì $x^2+2x+3>0$). Trên đoạn $[0;5]$, đường thẳng $y=7x+19$ nằm trên đường cong $y=x^3-3x^2+4$ (tại $x=0$: $19>4$). Hình $(H)$ giới hạn bởi hai đường và trục tung nên $x\in [0;5]$. Diện tích: $$S={\int }_0^5\left(7x+19-x^3+3x^2-4\right)dx={\int }_0^5\left(-x^3+3x^2+7x+15\right)dx$$ $$={\left[-\frac{x^4}{4}+x^3+\frac{7x^2}{2}+15x\right]}_0^5=-\frac{625}{4}+125+\frac{175}{2}+75=\frac{-625+500+350+300}{4}=\frac{525}{4}.$$ Vậy $S=\frac{525}{4}$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $f^{\prime }(x)(1+e^{f(x)})=1+e^x$, ta có $(f(x)+e^{f(x)}{)}^{\prime }=1+e^x$, suy ra $f(x)+e^{f(x)}=x+e^x+C$. Với $f(0)=0$: $1=1+C\Rightarrow C=0$, tức $f(x)+e^{f(x)}=x+e^x$. Hàm $h(u)=u+e^u$ có $h^{\prime }(u)=1+e^u>0$ nên đồng biến, do đó $f(x)=h^{-1}(h(x))=x$ với mọi $x$. Vậy ${\int }_1^{3}f(x)dx={\int }_1^{3}xdx=\frac{9-1}{2}=4$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\cos }^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}$, nên $\frac{2x{\cos }^2\left(\frac{x}{2}\right)}{1+\cos x}=x$.

Phần còn lại: $\frac{{\sin }^{3}x}{1+\cos x}=\frac{\sin x\left(1-{\cos }^{2}x\right)}{1+\cos x}=\sin x\left(1-\cos x\right)$.

Do đó:
$$I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}xdx-{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin x\left(1-\cos x\right)dx.$$

Tính: ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}xdx=\frac{{\pi }^2}{8}$.

Và ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\left(\sin x-\sin x\cos x\right)dx={\left[-\cos x+\frac{{\cos }^{2}x}{2}\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}=\left(0+0\right)-\left(-1+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$.

Vậy $I=\frac{{\pi }^2}{8}-\frac{1}{2}$, suy ra $a=8,b=1,c=2$ (phân số $\frac{1}{2}$ tối giản).

Khi đó $T=a^2+b^2+c^2=64+1+4=69$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\cos \frac{\pi }{2}xdx={\left[\frac{2}{\pi }\sin \frac{\pi }{2}x\right]}_0^1=\frac{2}{\pi }(1-0)=\frac{2}{\pi }$. So sánh với $\frac{a}{\pi }+\frac{b}{c}$ ta được $a=2$ và $\frac{b}{c}=0$, tức $b=0,c=1$ (viết dưới dạng tối giản $\frac{0}{1}$). Do đó $T=a+b+c=2+0+1=3$. Lưu ý: đề nói $b$ nguyên dương nhưng phần hằng số của tích phân bằng 0, nên cách duy nhất khớp đáp án là $b=0,c=1$, cho $T=3$, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục toạ độ với gốc tại trung điểm đáy vòm, parabol có đỉnh tại $(0;21)$ và đi qua $(\pm 35;0)$. Dạng parabol: $y=21-a{x}^2$. Thay $x=35,y=0$: $a=\frac{21}{35^2}=\frac{21}{1225}=\frac{3}{175}$. Diện tích mặt kính: $$S={\int }_{-35}^{35}\left(21-\frac{3}{175}{x}^2\right)dx=2{\left[21x-\frac{x^3}{175}\right]}_0^{35}=2\left(735-\frac{35^3}{175}\right)=2(735-245)=980.$$ Vậy diện tích mặt kính cần lắp là $980m^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cộng tính của tích phân: ${\int }_{-1}^{5}f(x)dx={\int }_{-1}^{2}f(x)dx+{\int }_2^{5}f(x)dx=2+(-5)=-3$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[0;1]$ ta có $e^x\ge x$ (vì hàm $g(x)=e^x-x$ có $g(0)=1>0$ và $g^{\prime }(x)=e^x-1\ge 0$ trên $[0;1]$). Hình phẳng giới hạn bởi $y=x$, $y=e^x$, trục tung và đường $x=1$ nằm trong khoảng $x\in [0;1]$, với đồ thị $y=e^x$ nằm trên $y=x$. Do đó $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(e^x-x\right)\mathrm{d}x$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F(1)-F(0)={\int }_0^{1}f(x)dx=-\frac{7}{2}$ (đúng theo định lý Newton-Leibniz). $F(2)-F(0)={\int }_0^{2}f(x)dx=-2$, nên nếu $F(0)=3$ thì $F(2)=1\ne 5$ (sai). Nguyên hàm của $f(x)=a{x}^2+bx+c$ là $\frac{a{x}^3}{3}+\frac{b{x}^2}{2}+cx+C$, khẳng định c) đúng (với hằng số $C$ tùy ý). Về d): từ hai điều kiện ${\int }_0^{1}f=-\frac{7}{2}$ và ${\int }_0^{2}f=-2$ chỉ có 2 phương trình cho 3 ẩn $a,b,c$ nên không xác định được $f$, do đó không thể kết luận diện tích bằng 2; nói chung ${\int }_0^2|f(x)|dx\ne {\int }_0^{2}f(x)dx=-2$ khi $f$ đổi dấu, nên khẳng định d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo Newton-Leibniz: $F(1)-F(0)={\int }_0^{1}f(x)dx=-\frac{7}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F(2)-F(0)={\int }_0^{2}f(x)dx=-2$ nên $F(2)=3-2=1\ne 5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\int f(x)dx=\frac{a{x}^3}{3}+\frac{b{x}^2}{2}+cx+C$; khẳng định đúng (bỏ qua hằng số $C$ tùy ý).
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai điều kiện chỉ cho 2 phương trình với 3 ẩn $a,b,c$ nên $f$ không xác định duy nhất; hơn nữa diện tích là ${\int }_0^2|f(x)|dx$ chứ không phải ${\int }_0^{2}f(x)dx=-2$, nên không thể kết luận diện tích bằng 2.