Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)=x^2$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ nên theo định lý cơ bản của tích phân: ${\int }_0^{1}f(x)dx=F(1)-F(0)=1^2-0^2=1$. Do đó ${\int }_0^1[1+f(x)]dx={\int }_0^{1}1dx+{\int }_0^{1}f(x)dx=1+1=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cắt ngang của trại là hình parabol với bề ngang 3 m, đỉnh cao 3 m. Chọn hệ trục sao cho parabol có dạng $y=3-\frac{4}{3}{x}^2$ (vì tại $x=\pm \frac{3}{2}$ thì $y=0$). Diện tích phần dưới parabol: $S={\int }_{-3/2}^{3/2}\left(3-\frac{4}{3}{x}^2\right)dx={\left[3x-\frac{4}{9}{x}^3\right]}_{-3/2}^{3/2}=9-\frac{4}{9}\cdot \frac{27}{4}=9-3=6$ (m²) (đúng bằng công thức $S=\frac{2}{3}\cdot$đáy$\cdot$cao $=\frac{2}{3}\cdot 3\cdot 3=6$). Thể tích lều $V=S\cdot 5=6\cdot 5=30$ m³.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cộng tính của tích phân: ${\int }_1^{4}f(x)dx={\int }_1^{3}f(x)dx+{\int }_3^{4}f(x)dx$. Suy ra ${\int }_3^{4}f(x)dx=6-2=4$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=\sin x$, $f^{\prime }(x)=\cos x$.
a) ${\int }_0^{\pi /2}\sin xdx=[-\cos x{]}_0^{\pi /2}=0-(-1)=1$ → ĐÚNG.
b) ${\int }_0^{\pi /2}\cos xdx=[\sin x{]}_0^{\pi /2}=1-0=1\ne -1$ → SAI.
c) $\sqrt{2}{\int }_0^{\pi /4}\sin xdx=\sqrt{2}{\left[-\cos x\right]}_0^{\pi /4}=\sqrt{2}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}-1\ne \sqrt{2}$ → SAI.
d) ${\int }_0^{\pi /2}[x+\sin x]dx=\frac{x^2}{2}{|}_0^{\pi /2}+1=\frac{{\pi }^2}{8}+1$ → ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^{\pi /2}\sin xdx=[-\cos x{]}_0^{\pi /2}=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^{\pi /2}\cos xdx=[\sin x{]}_0^{\pi /2}=1\ne -1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sqrt{2}{\int }_0^{\pi /4}\sin xdx=\sqrt{2}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\sqrt{2}-1\ne \sqrt{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^{\pi /2}xdx=\frac{{\pi }^2}{8}$ và ${\int }_0^{\pi /2}\sin xdx=1$, tổng bằng $\frac{{\pi }^2}{8}+1$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính tuyến tính của tích phân: ${\int }_0^1[f(x)-g(x)]dx={\int }_0^{1}f(x)dx-{\int }_0^{1}g(x)dx=2-(-1)=3$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[2;4]$, $y=x^2-2x\ge 0$ nên diện tích là $S={\int }_2^4(x^2-2x)dx=\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right){|}_2^4=\left(\frac{64}{3}-16\right)-\left(\frac{8}{3}-4\right)=\frac{16}{3}+\frac{4}{3}=\frac{20}{3}$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^2-4x$.
a) Nguyên hàm: $\int f(x)dx=\frac{x^3}{3}-2x^2+C\ne 2x-4$ (biểu thức $2x-4$ là $f^{\prime }(x)$) → Sai.
b) $\frac{f(x)}{x^2}=1-\frac{4}{x}$, nên ${\int }_1^2\left(1-\frac{4}{x}\right)dx={\left[x-4\ln x\right]}_1^2=2-4\ln 2\ne 1-4\ln 2$ → Sai.
c) $f(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=4$; trên $(0;4)$ thì $f(x)<0$. Diện tích $S={\int }_0^4(4x-x^2)dx={\left[2x^2-\frac{x^3}{3}\right]}_0^4=32-\frac{64}{3}=\frac{32}{3}$ → Đúng.
d) $V=\pi {\int }_0^4(x^2-4x{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^4(x^4-8x^3+16x^2)dx=\pi \left(\frac{1024}{5}-512+\frac{1024}{3}\right)=\pi \cdot \frac{3072-7680+5120}{15}=\frac{512\pi }{15}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $f(x)=x^2-4x$ là $\frac{x^3}{3}-2x^2+C$, còn $2x-4$ là $f^{\prime }(x)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^2\left(1-\frac{4}{x}\right)dx=2-4\ln 2$, không bằng $1-4\ln 2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S={\int }_0^4(4x-x^2)dx=\frac{32}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_0^4(x^2-4x{)}^{2}dx=\pi \left(\frac{1024}{5}-512+\frac{1024}{3}\right)=\frac{512\pi }{15}$, khớp với đề bài.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $\int (2x+1)dx=x^2+x$. Do đó ${\int }_a^b(2x+1)dx={\left[x^2+x\right]}_a^b=(b^2+b)-(a^2+a)=b^2+b-a^2-a$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tính tích phân: ${\int }_0^2(e^x-3)dx=\left(e^x-3x\right){|}_0^2=(e^2-6)-(1-0)=e^2-7$. Vậy $a=2$, $b=-7$, do đó $a\cdot b=2\cdot (-7)=-14$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\int }_0^a\cos xdx=\sin a=\frac{1}{2}$. Với $a\in [\pi ;10\pi ]$, các nghiệm là $a=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $a=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$.
- Dòng $a=\frac{\pi }{6}+2k\pi$: cần $\pi \le \frac{\pi }{6}+2k\pi \le 10\pi \Rightarrow \frac{5}{12}\le k\le \frac{59}{12}\approx 4,92$, nên $k\in \{1,2,3,4\}$: 4 giá trị.
- Dòng $a=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$: cần $\frac{1}{12}\le k\le \frac{55}{12}\approx 4,58$, nên $k\in \{1,2,3,4\}$... kiểm tra $k=0$: $a=\frac{5\pi }{6}<\pi$ không nhận; $k=1,2,3,4$: 4 giá trị.
Vậy $S$ có $4+4=8$ phần tử.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton–Leibniz: ${\int }_{-1}^1{f}^{\prime }(x)dx=f(1)-f(-1)=-1-1=-2$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f(x)dx=F(2)-F(-2)=5$. Ngoài ra $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}(-2x+1)dx={\left[-x^2+x\right]}_{-2}^2=(-4+2)-(-4-2)=4$. Vậy tích phân cần tính bằng $5+4=9$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tích phân: ${\int }_4^{-1}2f(x)dx=-2{\int }_{-1}^{4}f(x)dx=-2\cdot 2=-4$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: trên [-1;2], parabol có đỉnh (0;2) đi qua (-1;1) và (2;-2) nên f(x)=2-x^2. Trên [2;3], đoạn thẳng nối (2;-2) và (3;3) có hệ số góc 5 nên f(x)=5x-12.

F(1)=F(0)+∫₀¹(2-x^2)dx=0+(2x-x^3/3)|₀¹=2-1/3=5/3.

F(3)=F(0)+∫₀³f(x)dx=∫₀²(2-x^2)dx+∫₂³(5x-12)dx.
∫₀²(2-x^2)dx=(2x-x^3/3)|₀²=4-8/3=4/3.
∫₂³(5x-12)dx=(5x^2/2-12x)|₂³=(45/2-36)-(10-24)=-27/2+14=1/2.
Vậy F(3)=4/3+1/2=11/6.

F(1)+F(3)=5/3+11/6=10/6+11/6=21/6=3,5. Kết quả khớp với đáp án nguồn 3,5.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý Newton–Leibniz, nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên đoạn $[a;b]$ thì ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Tính chất tích phân: A, C, D đều đúng theo định nghĩa và tính tuyến tính. Khẳng định B sai vì $x$ là biến, không thể đưa ra ngoài tích phân: ${\int }_a^{b}xf(x)dx\ne x{\int }_a^{b}f(x)dx$ (vế trái là hằng số, vế phải phụ thuộc biến $x$). Ví dụ với $f(x)=1$, $a=0,b=1$: ${\int }_0^{1}xdx=\frac{1}{2}$ còn $x{\int }_0^{1}1dx=x$, không bằng nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cộng tính của tích phân: ${\int }_a^{c}f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_b^{c}f(x)dx$. Suy ra ${\int }_b^{c}f(x)dx=3-2=1$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tính nguyên hàm: $\int (3x^2-2x+1)dx=x^3-x^2+x+C$. Suy ra ${\int }_0^m(3x^2-2x+1)dx=m^3-m^2+m=6$, tức $m^3-m^2+m-6=0$. Thử $m=2$: $8-4+2=6$ thỏa mãn. Phân tích $(m-2)(m^2+m+3)=0$; vì $m^2+m+3>0$ với mọi $m$ nên nghiệm duy nhất là $m=2\in (0;4)$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$, dương trên $[-1;1]\cup [2;3]$ và âm trên $[1;2]$. Với $F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x$: $F(-1)=-\frac{23}{6},F(1)=\frac{5}{6},F(2)=\frac{2}{3},F(3)=\frac{3}{2}$.
$$I=(F(1)-F(-1))-(F(2)-F(1))+(F(3)-F(2))=\frac{14}{3}+\frac{1}{6}+\frac{5}{6}=\frac{17}{3}.$$
Vậy $a=17,b=3$, $T=a-b=14$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $\frac{2x+1}{x+2}=2-\frac{3}{x+2}$. Khi đó $I=\underset{-1}{\overset{3}{\int }}\left(2-\frac{3}{x+2}\right)\mathrm{d}x=[2x-3\ln (x+2){]}_{-1}^3=(6-3\ln 5)-(-2-3\ln 1)=8-3\ln 5$. Vậy $a=8,b=3,c=5$ nên $T=a+b+c=16$. Đáp án C.