Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{2x^2+x-2}{x+1}=2x-1-\frac{1}{x+1}$. Do đó $I={\int }_0^3\left(2x-1-\frac{1}{x+1}\right)dx={\left[x^2-x-\ln (x+1)\right]}_0^3=(9-3-\ln 4)-0=6-\ln 4=6-2\ln 2$. Vậy $b=6$, $a=2$ và $T=a+2b=2+12=14$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tính $I={\int }_0^{\pi /2}[f(x)+2\sin x]dx={\int }_0^{\pi /2}f(x)dx+2{\int }_0^{\pi /2}\sin xdx=5+2[-\cos x{]}_0^{\pi /2}=5+2(0-(-1))=5+2=7$. Vậy $I=7$, chọn A. (Dấu "$=5$" cuối đề là lỗi in của tài liệu gốc, không ảnh hưởng phép tính.)

(AI giải đề cho tôi)
Từ $f^{\prime }(x)=2{\sin }^{2}x+1=2-\cos 2x$, ta có $f(x)=2x-\frac{\sin 2x}{2}+C$. Vì $f(0)=4$ nên $C=4$, tức $f(x)=2x-\frac{\sin 2x}{2}+4$. Khi đó $${\int }_0^{\pi /4}f(x)dx={\left[x^2+\frac{\cos 2x}{4}+4x\right]}_0^{\pi /4}=\frac{{\pi }^2}{16}+0-\frac{1}{4}+\pi =\frac{{\pi }^2+16\pi -4}{16}.$$ Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\int }_0^1{3}^x\mathrm{d}x={\frac{3^x}{\ln 3}|}_0^1=\frac{3-1}{\ln 3}=\frac{2}{\ln 3}=2{\log }_{3}e$ và ${\int }_0^{1}2e^x\mathrm{d}x=2(e-1)$. Vậy ${\int }_0^1(3^x-2e^x)\mathrm{d}x=\frac{2}{\ln 3}-2(e-1)=2{\log }_{3}e-2e+2=2({\log }_{3}e-e+1)$. Lưu ý: đáp án B ghi $\frac{3}{\ln 3}$ là sai (nguyên hàm của $3^x$ cho $\frac{3^1-3^0}{\ln 3}=\frac{2}{\ln 3}$, không phải $\frac{3}{\ln 3}$). Đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có nguyên hàm: $\int \frac{1}{\sqrt{2x+1}}dx=\sqrt{2x+1}+C$ (vì $(\sqrt{2x+1}{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$). Do đó $\underset{0}{\overset{4}{\int }}\frac{1}{\sqrt{2x+1}}dx={\sqrt{2x+1}|}_0^4=\sqrt{9}-\sqrt{1}=3-1=2$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, vùng tô đậm giới hạn bởi đồ thị $y=f(x)$ (nằm dưới trục hoành) và trục $Ox$ trên đoạn $[1;3]$. Vì $f(x)\le 0$ với mọi $x\in [1;3]$, diện tích là $S=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left|f(x)\right|\mathrm{d}x=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left[-f(x)\right]\mathrm{d}x$. Đáp án C. (Đáp án A sai vì ${\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x$ cho giá trị âm; B sai vì cận bị đảo ${\int }_3^1$; D sai vì cận $[1;2]$ không đúng vùng tô đậm.)

(AI giải đề cho tôi)
Trên đoạn $[1;2]$, hàm $y=x^3+2x+1>0$ nên diện tích là $S={\int }_1^2(x^3+2x+1)dx=\left(\frac{x^4}{4}+x^2+x\right){|}_1^2=\left(4+4+2\right)-\left(\frac{1}{4}+1+1\right)=10-\frac{9}{4}=\frac{31}{4}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích: $y=\frac{x^2-2x}{x-1}=\frac{(x-1{)}^2-1}{x-1}=x-1-\frac{1}{x-1}$.

Hiệu giữa đường cong $(P)$ và đường thẳng $d:y=x-1$ là:
$$\left(x-1-\frac{1}{x-1}\right)-(x-1)=-\frac{1}{x-1}.$$

Với $a>1$, trên $[a,2a]$ ta có $x-1>0$ nên $-\frac{1}{x-1}<0$, tức $(P)$ nằm dưới $d$. Diện tích:
$$S={\int }_a^{2a}\frac{1}{x-1}dx=\ln (2a-1)-\ln (a-1)=\ln \frac{2a-1}{a-1}.$$

Cho $S=\ln 3$: $\frac{2a-1}{a-1}=3\Rightarrow 2a-1=3a-3\Rightarrow a=2$ (thỏa $a>1$).

Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức Newton–Leibniz, nếu F là nguyên hàm của f trên [a;b] thì ∫_a^b f(x)dx = F(b) − F(a).
a) Sai: ∫_a^b f(x)dx = F(b) − F(a), không phải F(a) − F(b).
b) Đúng: G cũng là nguyên hàm của f nên ∫_a^b f(x)dx = G(b) − G(a).
c) Đúng: tích phân trên đoạn suy biến [a;a] bằng 0.
d) Đúng: hai nguyên hàm của cùng một hàm số trên một đoạn chỉ khác nhau một hằng số, G(x) − F(x) = C, do đó G(b) − F(b) = G(a) − F(a) = C.
a) (AI giải đề cho tôi)
Sai vì ∫_a^b f(x)dx = F(b) − F(a) theo Newton–Leibniz, không phải F(a) − F(b).
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: G là nguyên hàm của f nên ∫_a^b f(x)dx = G(b) − G(a).
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: tích phân trên đoạn [a;a] suy biến bằng 0.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: G(x) − F(x) = C (hằng số) vì hai nguyên hàm cùng hàm số trên một đoạn chỉ khác hằng số, nên G(b) − F(b) = G(a) − F(a).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=x^2-2x$ khi $x\ge 2$ và $f(x)=x-2$ khi $x<2$.
a) Trên $[1;2]$ (điểm $x=2$ không ảnh hưởng giá trị tích phân) có $f(x)=x-2$, nên ${\int }_1^{2}f(x)dx={\int }_1^2(x-2)dx=\left(\frac{x^2}{2}-2x\right){|}_1^2=(2-4)-\left(\frac{1}{2}-2\right)=-\frac{1}{2}$. Mệnh đề Đúng.
b) Trên $[2;3]$ có $f(x)=x^2-2x$, nên ${\int }_2^{3}f(x)dx={\int }_2^3(x^2-2x)dx=\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right){|}_2^3=(9-9)-\left(\frac{8}{3}-4\right)=\frac{4}{3}$. Mệnh đề Đúng.
c) Sai. Trên $[1;2]$ nguyên hàm của $x-2$ là $\frac{x^2}{2}-2x$ nên vế đầu $\left(\frac{x^2}{2}-2x\right){|}_1^2$ đúng; nhưng trên $[2;3]$ nguyên hàm của $x^2-2x$ là $\frac{x^3}{3}-x^2$, do đó vế sau phải là $\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right){|}_2^3$ chứ không phải $\left(\frac{x^2}{2}-2x\right){|}_2^3$. Biểu thức đúng: ${\int }_1^{3}f(x)dx=\left(\frac{x^2}{2}-2x\right){|}_1^2+\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right){|}_2^3$.
d) ${\int }_1^{3}f(x)dx=-\frac{1}{2}+\frac{4}{3}=\frac{-3+8}{6}=\frac{5}{6}$. Mệnh đề Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trên $[1;2]$ có $f(x)=x-2$ nên ${\int }_1^{2}f(x)dx={\int }_1^2(x-2)dx=\left(\frac{x^2}{2}-2x\right){|}_1^2=-\frac{1}{2}$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trên $[2;3]$ có $f(x)=x^2-2x$ nên ${\int }_2^{3}f(x)dx={\int }_2^3(x^2-2x)dx=\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right){|}_2^3=\frac{4}{3}$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Sai. Trên $[1;2]$ nguyên hàm của $x-2$ là $\frac{x^2}{2}-2x$ nên vế đầu đúng; nhưng trên $[2;3]$ nguyên hàm của $x^2-2x$ là $\frac{x^3}{3}-x^2$, nên vế sau phải là $\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right){|}_2^3$ chứ không phải $\left(\frac{x^2}{2}-2x\right){|}_2^3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^{3}f(x)dx=-\frac{1}{2}+\frac{4}{3}=\frac{5}{6}$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=2^x$. a) Vì cơ số $2>1$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$, khẳng định nghịch biến là sai. b) Đạo hàm hàm số mũ: $f^{\prime }(x)=2^x\ln 2$, đúng. c) ${\int }_0^1{f}^{\prime }(x)dx=f(1)-f(0)=2^1-2^0=1\ne \frac{1}{\ln 2}$, sai. d) ${\int }_0^{\ln 2}{2}^{x}dx=\frac{2^x}{\ln 2}{|}_0^{\ln 2}=\frac{2^{\ln 2}-1}{\ln 2}=\frac{e^{(\ln 2{)}^2}-1}{\ln 2}\approx \frac{1,617-1}{0,693}\approx 0,89\ne \frac{1}{\ln 2}\approx 1,44$, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $2>1$ nên $f(x)=2^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, không nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$ nên $f^{\prime }(x)=2^x\ln 2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^1{f}^{\prime }(x)dx=f(1)-f(0)=2-1=1\ne \frac{1}{\ln 2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^{\ln 2}{2}^{x}dx=\frac{2^{\ln 2}-1}{\ln 2}=\frac{e^{(\ln 2{)}^2}-1}{\ln 2}\approx 0,89\ne \frac{1}{\ln 2}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trên [0;1], $\sqrt[3]{x}\ge 0$ nên diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y=\sqrt[3]{x}$, trục $Ox$, $x=0$, $x=1$ là $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|\sqrt[3]{x}\right|dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt[3]{x}dx=\frac{3}{4}$. Phát biểu ĐÚNG.
b) $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{3}dx=\frac{1}{4}\ne \frac{3}{4}$. Phát biểu SAI.
c) Trên $[0;1]$ ta có $x^3\le \sqrt[3]{x}$ (do $x^3\le x\le \sqrt[3]{x}$), nên diện tích phải tính $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\sqrt[3]{x}-x^3\right)dx=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$, không phải $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x^3-\sqrt[3]{x}\right)dx$ (sẽ âm). Phát biểu SAI.
d) Diện tích phần tô đậm (giữa hai đường cong) là $\frac{1}{2}$, viên gạch có diện tích $1$, nên phần không tô đậm có diện tích $1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ (dvdt). Phát biểu ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0;1], $\sqrt[3]{x}\ge 0$ nên $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|\sqrt[3]{x}\right|dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{1/3}dx=\frac{3}{4}$, công thức đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{3}dx=\frac{1}{4}$ (dvdt), không phải $\frac{3}{4}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên [0;1] có $x^3\le \sqrt[3]{x}$ nên $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\sqrt[3]{x}-x^3\right)dx=\frac{1}{2}$; công thức trong đề cho giá trị âm nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích tô đậm $=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(\sqrt[3]{x}-x^3)dx=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$; viên gạch diện tích $1$ nên phần không tô đậm $=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ (dvdt).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Công thức tổng quát phải có giá trị tuyệt đối: $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f(x)-g(x)\right|dx$. Không thể khẳng định $f(x)\ge g(x)$ trên $[a;b]$, ví dụ với $f(x)=x^2$, $g(x)=x$ trên $[0;1]$ thì $f(x)-g(x)\le 0$ nên công thức không có giá trị tuyệt đối sẽ cho kết quả âm.
b) Đúng. Hai đồ thị $y=x^2$ và $y=x$ cắt nhau tại $x=0$ và $x=1$ (giải $x^2=x$). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị là $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|x^2-x\right|dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x-x^2)dx=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$, và công thức trong đề đúng theo định nghĩa.
c) Đúng. Hai đồ thị $y=x^2$ và $y=1$ cắt nhau tại $x=\pm 1$. Trên $[-1;1]$ ta có $1\ge x^2$, nên $S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}(1-x^2)dx={\left[x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-1}^1=\left(1-\frac{1}{3}\right)-\left(-1+\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{3}$ (dvdt).
d) Sai. Hai đồ thị $y=x^2+1$ và $y=1$ cắt nhau tại $x=0$; kết hợp đường thẳng $x=1$, hình phẳng giới hạn bởi ba đường này có $0\le x\le 1$ và $x^2+1\ge 1$, nên $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[(x^2+1)-1\right]dx=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$ (dvdt) $\ne \frac{4}{3}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng phải là $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f(x)-g(x)\right|dx$; thiếu giá trị tuyệt đối nên sai khi $f(x)-g(x)$ đổi dấu.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai đồ thị cắt tại $x=0$, $x=1$; công thức $S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|x^2-x\right|dx$ đúng (giá trị $S=\frac{1}{6}$).
c) (AI giải đề cho tôi)
$S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}(1-x^2)dx=\frac{4}{3}$ (dvdt).
d) (AI giải đề cho tôi)
$S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2}dx=\frac{1}{3}$ (dvdt), không bằng $\frac{4}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân: ${\int }_2^3[f(x)-g(x)]dx={\int }_2^{3}f(x)dx-{\int }_2^{3}g(x)dx=4-1=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất cộng tính của tích phân: ${\int }_{-2}^{4}f(t)dt={\int }_{-2}^{2}f(x)dx+{\int }_2^{4}f(y)dy$. Suy ra ${\int }_2^{4}f(y)dy=-4-1=-5$. (Tích phân không phụ thuộc tên biến.)

(AI giải đề cho tôi)
Tách tích phân theo hai khoảng: ${\int }_0^{2}f(x)dx={\int }_0^{1}3x^{2}dx+{\int }_1^2(4-x)dx$. Tính từng phần: ${\int }_0^{1}3x^{2}dx={x^3|}_0^1=1$; ${\int }_1^2(4-x)dx={\left(4x-\frac{x^2}{2}\right)}_1^2=(8-2)-(4-\frac{1}{2})=6-\frac{7}{2}=\frac{5}{2}$. Vậy ${\int }_0^{2}f(x)dx=1+\frac{5}{2}=\frac{7}{2}=3,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích $\frac{1}{x^2+3x+2}=\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$. Khi đó $${\int }_0^1\frac{dx}{x^2+3x+2}=[\ln (x+1)-\ln (x+2){]}_0^1=(\ln 2-\ln 3)-(0-\ln 2)=2\ln 2-\ln 3.$$ Vậy $a=2,b=-1$, suy ra $a+b=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\mathrm{I}={\int }_{-\pi /2}^0\sin 2025xdx={\left[-\frac{\cos 2025x}{2025}\right]}_{-\pi /2}^0=-\frac{\cos 0}{2025}+\frac{\cos \left(-\frac{2025\pi }{2}\right)}{2025}$. Vì $2025\pi /2=1012\pi +\pi /2$ nên $\cos \left(-\frac{2025\pi }{2}\right)=\cos \frac{\pi }{2}=0$. Do đó $\mathrm{I}=-\frac{1}{2025}$, tức $a=1$, $b=2025$ (phân số tối giản), vậy $a+b=2026$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t={\mathrm{e}}^x$, $\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}t}{t}$, đổi cận: $x=\ln 3\to t=3$; $x=\ln 6\to t=6$.

Khi đó mẫu số: ${\mathrm{e}}^x+2{\mathrm{e}}^{-x}-3=t+\frac{2}{t}-3=\frac{t^2-3t+2}{t}=\frac{(t-1)(t-2)}{t}$.

Suy ra $$I={\int }_3^6\frac{\mathrm{d}t}{t^2-3t+2}={\int }_3^6\left(\frac{1}{t-2}-\frac{1}{t-1}\right)\mathrm{d}t=[\ln (t-2)-\ln (t-1){]}_3^6$$
$$=(\ln 4-\ln 5)-(\ln 1-\ln 2)=\ln 4-\ln 5+\ln 2=\ln 8-\ln 5=3\ln 2-\ln 5.$$

Vậy $a=2$, $b=5$ và $P=ab=10$.