Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Cho hàm số $y=f(x)$ là hàm đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=f(x);y=f^{\prime }(x)$ có diện tích bằng

[Hình cần kiểm tra lại: p3_f1]

Cho hàm số $f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $\left[-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right]$ thỏa mãn
$$\underset{-\frac{1}{2}}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\left[f^2(x)-2f(x)(3-x)\right]\mathrm{d}x=-\frac{109}{12}.\text{Tıˊnh }\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}}{\int }}\frac{f(x)}{x^2-1}\mathrm{d}x.$$

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0)=0$ và $f^{\prime }(x)\cdot \left(1+e^{f(x)}\right)=1+e^x$, $\forall x\in \mathbb{R}$. Tính ${\int }_1^{3}f(x)dx$.

Để trang trí một ô hình chữ nhật với kích thước 80 cm×60 cm chiều ngang 80 chiều dọc 60 ( hình vẽ) trên tường căn phòng của mình, anh Bình dự định tô màu họa tiết giới hạn bởi parabol $(P)$ và cạnh hình chữ nhật (phần kí hiệu sọc nghiêng) bằng sơn màu vàng ; họa tiết giới hạn bởi parabol $(C)$ cùng các cạnh của ô chữ nhật (phần vùng tô đậm) bằng sơn màu xanh (như hình vẽ). Biết rằng các parabol $(P)$ và $(C)$ đối xứng nhau qua đường thẳng $AB$ và diện tích (phần kí hiệu sọc nghiêng) dự định tô sơn vàng bằng $\frac{1600}{3}c{m}^2$. Tính tổng số tiền (đơn vị: triệu đồng) mà anh Bình cần phải trả để mua sơn trang trí. Biết mỗi lọ sơn, sơn được tối đa 30 $c{m}^2$. Cho biết giá của một lọ sơn vàng là 65000 đồng, giá của một lọ sơn xanh là 45000 đồng (biết rằng mỗi lọ sơn không được bán lẻ).

[Hình cần kiểm tra lại: p4_f2]

Một công ty thiết kế logo dựa trên một hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các trục tọa độ, đường thẳng $x=k$ và đường cong $(C)$ như hình vẽ. Đường cong $(C)$ gồm hai đường cong: $(C_1)$ là một phần đồ thị của hàm số $f(x)=a{x}^4,0\le x\le 2$ và $(C_2)$ là một phần đồ thị của hàm số $g(x)=b(x-k{)}^4+c,2\le x\le k$.

Biết rằng $(C_1)$ và $(C_2)$ có chung một tiếp tuyến tại điểm $A(2;2)$ và diện tích của hình phẳng $(H)$ bằng 8 (đvdt). Tính giá trị của tham số $k$.

Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng $4\sqrt{5}(m)$ (xem hình minh họa). Trên đó người ta thiết kế hai phần để trồng hoa và trồng cỏ. Phần thứ nhất (phần gạch sọc) có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm $O$ và hai đầu mút $A,B$ của cánh hoa cách nhau $4(m)$. Phần thứ hai (phần không gạch sọc) dành để trồng cỏ Nhật Bản. Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là 100 000 đồng/m². Tính số tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên toàn bộ phần đất thứ hai. (Số tiền được làm tròn đến nghìn đồng)

Cho hình chữ nhật $ABCD$ tâm $O$, với $AB=6,BC=4$. Gọi $E,F,G,H$ lần lượt là trung điểm của $CD,AB,BC,AD$ và $FK=EL=\frac{3}{5}OL$. Biết hai cung $GEH$, $GFH$ lần lượt là cung tròn nằm trên đường tròn tâm $K$ có bán kính $KE$ và đường tròn tâm $L$ có bán kính $LF$. Tính tổng diện tích $S_1+S_2+S_3+S_4$ (phần hình được gạch sọc như hình vẽ).

Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X xây dựng một cây cầu bằng bê tông có kích thước như trong hình vẽ dưới đây, các đường cong trong hình vẽ là các parabol. Tính thể tích của bê tông để đổ đủ cây cầu. Viết kết quả theo đơn vị mét khối.

[Hình cần kiểm tra lại: p10_f1]

Một công ty dự định làm các kỉ niệm chương có dạng hình vuông cạnh 20 $cm$, chính giữa bên trong là một hình phẳng được tô đậm như hình vẽ, bên trong hình phẳng này sẽ in tên và thành tích của những nhân viên xuất sắc trong năm. Biết rằng bốn cạnh của hình phẳng là bốn cung parabol có độ dài bằng nhau. Những điểm nằm trên cung $\widehat{AB}$ (cung parabol phía trên) có khoảng cách tới tâm hình vuông bằng khoảng cách tới cạnh $MN$; đồng thời hai điểm $A$, $B$ nằm trên các đường chéo của hình vuông. Tính diện tích phần hình phẳng đó (phần tô đậm) (đơn vị: $c{m}^2$, kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Viên gạch men dùng để lát nền nhà là một hình vuông có cạnh bằng 80 cm (xem hình bên dưới). Mỗi viên gạch có 4 bông hoa, mỗi bông hoa gồm 4 cánh hoa. Mỗi cánh hoa (phần màu xanh) là phần giao nhau của hai hình tròn có cùng bán kính và khoảng cách giữa hai tâm là $20\sqrt{2}$ cm. Ước tính ở công đoạn tráng men, phần màu xanh có chi phí 50 nghìn đồng trên một mét vuông, còn phần màu trắng có chi phí 30 nghìn đồng trên một mét vuông. Tính chi phí (đơn vị: tỉ đồng) của công đoạn tráng men này, khi cơ sở dự định sản xuất 100 000 viên gạch như thế (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Bạn An có bức tường hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng 4 m (tham khảo hình vẽ). An dự định chia bức tường thành hai phần để sơn: Phần 1 sơn màu xanh da trời, kí hiệu là hình phẳng $(\mathcal{H})$, phần 2 sơn màu vàng. Biết rằng hình phẳng $(\mathcal{H})$ là tập hợp tất cả các điểm $M$ nằm bên trong hình vuông, đồng thời thỏa mãn $d(M;AB)\le ME+1$ (đơn vị là mét), với $E$ là trung điểm của $DC$. Biết rằng mỗi hộp sơn các màu chỉ sơn được 3 m${}^2$ tường, đồng thời giá của hộp sơn màu xanh da trời là 100.000 đồng/hộp, hộp sơn màu vàng là 120.000 đồng/hộp. Tính giá tiền bạn An mua sơn để sơn bức tường này? (đơn vị là nghìn đồng và cửa hàng sơn chỉ bán số nguyên của hộp).

Một nhà thiết kế cần làm một cái logo có dạng hình chữ nhật kích thước $50cm\times 100cm$. Trong logo đó có hai đường parabol chung đỉnh, cùng trục đối xứng chứa đường trung bình (chiều dài) của hình chữ nhật và hai parabol đi qua bốn đỉnh của hình chữ nhật. Nhà thiết kế có kế hoạch làm màu nền là màu xanh cho phần phía trên của cả hai đường parabol và phần phía dưới của cả hai đường parabol, phần còn lại là màu khác. Diện tích phần màu xanh là bao nhiêu $d{m}^2$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Một tấm kính làm mặt bàn (H1) có hình dạng tam giác đều với 3 đỉnh được làm cong (H2). Biết cạnh tấm kính tam giác ban đầu bằng 12(dm). Để cắt góc bàn được đẹp thì người ta cắt theo đường cong là đường Parabol (P): $y=-\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2+5\sqrt{3}$ (H3) có hai nhánh tiếp giáp với hai cạnh của tam giác (H4)
[Hình cần kiểm tra lại: p3_f1] [Hình cần kiểm tra lại: p3_f2] [Hình cần kiểm tra lại: p3_f3]
H1 — H2 — H3 — H4
Diện tích mặt kính làm mặt bàn (H1) bằng $S(d{m}^2)$. Tính $S$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Trong lưới ô vuông có hai đường parabol như hình vẽ. Biết rằng mỗi ô vuông nhỏ có cạnh bằng 1 cm. Diện tích của hình phẳng trong lưới ô vuông được giới hạn bởi hai đường parabol (phần gạch chéo) bằng bao nhiêu centimet vuông (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Cho đồ thị hàm số $y=x^3-2x^2-3x+4(C)$ và đường thẳng $d:y=2x-2$.

Một cổng chào của khu công nghệ cao có hình dạng là một parabol $(P)$ với chiều rộng chân cổng $AB=8$ (m) và chiều cao $SO=12$ (m) ($S$ là đỉnh). Trên mặt đất, người ta lấy một điểm $M$ nằm trên đoạn $AB$ sao cho $AM=2$ (m). Để trang trí, ban quản lý căng hai sợi dây: một dây đèn LED thẳng từ $M$ đến đỉnh $S$ và một sợi cáp thẳng từ $M$ đến điểm $N$ nằm trên cổng $(P)$ (điểm $N$ nằm khác phía với $A$ so với trục đối xứng của cổng và cách mặt đất 9m). Tính diện tích phần rèm vải xuyên sáng được thiết kế để che kín khoảng không gian giới hạn bởi dây đèn $MS$, sợi cáp $MN$ và cung parabol $SN$.

Một bức tường hình chữ nhật $ABCD$ có kích thước $4(m)\times 6(m)$ được bạn Nguyên trang trí bằng cách vẽ đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$ chia thành hai phần (tham khảo hình vẽ bên). Phần $H_1$ được sơn màu xanh, phần $H_2$ được sơn màu vàng. Biết rằng mỗi hộp sơn các màu chỉ sơn được $3\left(m^2\right)$ tường, đồng thời giá của hộp sơn màu xanh là 100000 đồng / hộp, hộp sơn màu vàng là 140000 đồng / hộp. Tính số tiền bạn Nguyên cần dùng mua sơn để sơn bức tường này? (đơn vị là nghìn đồng và cửa hàng sơn chỉ bán số nguyên của hộp).

Cho hình vuông $OABC$ cạnh bằng 8, điểm $M$ nằm trong hình vuông sao cho khoảng cách từ $M$ đến các cạnh $OA$, $OC$ cùng bằng 3. Parabol $(P_1)$ đi qua các điểm $O$, $A$, $M$; parabol $(P_2)$ đi qua các điểm $O$, $C$, $M$. Tính diện tích phần tô đậm trong hình vẽ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

[Hình cần kiểm tra lại: p5_f1]