Cho hình vuông $OABC$ cạnh bằng 8, điểm $M$ nằm trong hình vuông sao cho khoảng cách từ $M$ đến các cạnh $OA$, $OC$ cùng bằng 3. Parabol $(P_1)$ đi qua các điểm $O$, $A$, $M$; parabol $(P_2)$ đi qua các điểm $O$, $C$, $M$. Tính diện tích phần tô đậm trong hình vẽ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

[Hình cần kiểm tra lại: p5_f1]

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $O(0;0)$, $A(8;0)$, $C(0;8)$, $B(8;8)$. Vì khoảng cách từ $M$ đến $OA$ và $OC$ đều bằng 3 nên $M(3;3)$.

Parabol $(P_1)$ qua $O$, $A$, $M$ có dạng $y=a{x}^2+bx$. Qua $A(8;0)$: $64a+8b=0\Rightarrow b=-8a$. Qua $M(3;3)$: $9a+3b=3\Rightarrow 9a-24a=3\Rightarrow a=-\frac{1}{5}$, $b=\frac{8}{5}$. Vậy $P_1:y=\frac{-x^2+8x}{5}$.

Do đối xứng qua $y=x$, parabol $(P_2)$ qua $O$, $C$, $M$ có phương trình $x=\frac{-y^2+8y}{5}$.

Hai parabol cắt nhau tại $O$ và $M$: trên đường $y=x$, $x=\frac{-x^2+8x}{5}\Rightarrow x^2-3x=0\Rightarrow x=0$ hoặc $x=3$.

Phần không tô đậm gồm hai vùng: dưới $(P_1)$ và bên trái $(P_2)$, mỗi vùng có diện tích
$$S_1={\int }_0^8\frac{-x^2+8x}{5}dx=\frac{1}{5}\left(-\frac{512}{3}+256\right)=\frac{256}{15}.$$

Hai vùng này chồng lấn nhau ở phần giữa hai cung từ $O$ đến $M$ (nơi $P_1$ nằm trên đường $y=x$), diện tích phần chồng lấn (do đối xứng) là
$$2{\int }_0^3\left(\frac{-x^2+8x}{5}-x\right)dx=\frac{2}{5}{\int }_0^3(-x^2+3x)dx=\frac{2}{5}\cdot \frac{9}{2}=\frac{9}{5}.$$

Diện tích phần tô đậm:
$$S=64-2\cdot \frac{256}{15}+\frac{9}{5}=64-\frac{512}{15}+\frac{27}{15}=64-\frac{485}{15}=64-\frac{97}{3}=\frac{95}{3}\approx 31,67\approx 32.$$

Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị là $32$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1212, câu 4: 32).