Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $6x^2-x-3=(2x+1)(3x-2)-1$, nên $\frac{6x^2-x-3}{2x+1}=3x-2-\frac{1}{2x+1}$. Do đó $I={\int }_1^3(3x-2)dx-\frac{1}{2}\ln (2x+1){|}_1^3=\left(\frac{27}{2}-6\right)-\left(\frac{3}{2}-2\right)-\frac{1}{2}\ln \frac{7}{3}=8-\frac{1}{2}\ln \frac{7}{3}=8+\frac{1}{2}\ln \frac{3}{7}$. Vậy $a=1,b=2,c=3,d=7$ (các phân số $\frac{1}{2},\frac{3}{7}$ tối giản), suy ra $ad-bc=1\cdot 7-2\cdot 3=1$. Khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt=\frac{a{x}^3}{3}+\frac{b{x}^2}{2}+cx$. Điều kiện bài cho cho hệ:
$$\{\begin{array}{l}\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+c=-\frac{7}{2}\\ \frac{8a}{3}+2b+2c=-2\\ 9a+\frac{9b}{2}+3c=\frac{13}{2}\end{array}$$
Nhân lần lượt với 6, 3, 2:
$$\{\begin{array}{l}2a+3b+6c=-21\\ 8a+6b+6c=-6\\ 18a+9b+6c=13\end{array}$$
Trừ phương trình thứ nhất khỏi thứ hai: $6a+3b=15\Rightarrow 2a+b=5$. Trừ phương trình thứ hai khỏi thứ ba: $10a+3b=19$. Suy ra $4a=4\Rightarrow a=1$, $b=3$, rồi $2+9+6c=-21\Rightarrow c=-\frac{16}{3}$.
Kiểm tra: ${\int }_0^2=\frac{8}{3}+6-\frac{32}{3}=-2$ đúng; ${\int }_0^3=9+\frac{27}{2}-16=\frac{13}{2}$ đúng.
Vậy $P=a+b+c=1+3-\frac{16}{3}=-\frac{4}{3}$, trùng với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Biểu thức trong dấu căn: $\frac{1}{4x}+\frac{\sqrt{x}+e^x}{\sqrt{x}{e}^{2x}}=\frac{1}{4x}+\frac{1}{e^{2x}}+\frac{1}{\sqrt{x}{e}^x}={\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{e^x}\right)}^2$. Vậy tích phân $={\int }_1^4\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+e^{-x}\right)dx={\left[\sqrt{x}-e^{-x}\right]}_1^4=(2-e^{-4})-(1-e^{-1})=1+e^{-1}-e^{-4}$. Suy ra $a=1,b=-1,c=-4$, nên $T=abc=1\cdot (-1)\cdot (-4)=4$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $h(x)=f(x)-g(x)=a{x}^3+(b-d)x^2+(c-e)x-4$. Vì hai đồ thị cắt nhau tại $x=-2,-1,1$ nên $h(x)=k(x+2)(x+1)(x-1)$. So sánh hệ số tự do: $k\cdot 2\cdot 1\cdot (-1)=-4\Rightarrow k=2$, thus $h(x)=2(x+2)(x+1)(x-1)=2x^3+4x^2-2x-4$. Xét dấu: trên $(-2,-1)$, $h(x)>0$; trên $(-1,1)$, $h(x)<0$. Nguyên hàm: $F(x)=\frac{x^4}{2}+\frac{4x^3}{3}-x^2-4x$. Ta có $F(-2)=\frac{4}{3}$, $F(-1)=\frac{13}{6}$, $F(1)=-\frac{19}{6}$. Diện tích: $S={\int }_{-2}^{-1}h(x)dx-{\int }_{-1}^{1}h(x)dx=\left(\frac{13}{6}-\frac{4}{3}\right)+\left(\frac{13}{6}+\frac{19}{6}\right)=\frac{5}{6}+\frac{16}{3}=\frac{37}{6}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-3x^2+4=7x+19\iff x^3-3x^2-7x-15=0\iff (x-5)(x^2+2x+3)=0$. Chỉ có nghiệm thực $x=5$ (vì $x^2+2x+3>0$). Trên đoạn $[0;5]$, đường thẳng $y=7x+19$ nằm trên đường cong $y=x^3-3x^2+4$ (tại $x=0$: $19>4$). Hình $(H)$ giới hạn bởi hai đường và trục tung nên $x\in [0;5]$. Diện tích: $$S={\int }_0^5\left(7x+19-x^3+3x^2-4\right)dx={\int }_0^5\left(-x^3+3x^2+7x+15\right)dx$$ $$={\left[-\frac{x^4}{4}+x^3+\frac{7x^2}{2}+15x\right]}_0^5=-\frac{625}{4}+125+\frac{175}{2}+75=\frac{-625+500+350+300}{4}=\frac{525}{4}.$$ Vậy $S=\frac{525}{4}$, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\cos }^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}$, nên $\frac{2x{\cos }^2\left(\frac{x}{2}\right)}{1+\cos x}=x$.

Phần còn lại: $\frac{{\sin }^{3}x}{1+\cos x}=\frac{\sin x\left(1-{\cos }^{2}x\right)}{1+\cos x}=\sin x\left(1-\cos x\right)$.

Do đó:
$$I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}xdx-{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin x\left(1-\cos x\right)dx.$$

Tính: ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}xdx=\frac{{\pi }^2}{8}$.

Và ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\left(\sin x-\sin x\cos x\right)dx={\left[-\cos x+\frac{{\cos }^{2}x}{2}\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}=\left(0+0\right)-\left(-1+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$.

Vậy $I=\frac{{\pi }^2}{8}-\frac{1}{2}$, suy ra $a=8,b=1,c=2$ (phân số $\frac{1}{2}$ tối giản).

Khi đó $T=a^2+b^2+c^2=64+1+4=69$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục toạ độ với gốc tại trung điểm đáy vòm, parabol có đỉnh tại $(0;21)$ và đi qua $(\pm 35;0)$. Dạng parabol: $y=21-a{x}^2$. Thay $x=35,y=0$: $a=\frac{21}{35^2}=\frac{21}{1225}=\frac{3}{175}$. Diện tích mặt kính: $$S={\int }_{-35}^{35}\left(21-\frac{3}{175}{x}^2\right)dx=2{\left[21x-\frac{x^3}{175}\right]}_0^{35}=2\left(735-\frac{35^3}{175}\right)=2(735-245)=980.$$ Vậy diện tích mặt kính cần lắp là $980m^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F(1)-F(0)={\int }_0^{1}f(x)dx=-\frac{7}{2}$ (đúng theo định lý Newton-Leibniz). $F(2)-F(0)={\int }_0^{2}f(x)dx=-2$, nên nếu $F(0)=3$ thì $F(2)=1\ne 5$ (sai). Nguyên hàm của $f(x)=a{x}^2+bx+c$ là $\frac{a{x}^3}{3}+\frac{b{x}^2}{2}+cx+C$, khẳng định c) đúng (với hằng số $C$ tùy ý). Về d): từ hai điều kiện ${\int }_0^{1}f=-\frac{7}{2}$ và ${\int }_0^{2}f=-2$ chỉ có 2 phương trình cho 3 ẩn $a,b,c$ nên không xác định được $f$, do đó không thể kết luận diện tích bằng 2; nói chung ${\int }_0^2|f(x)|dx\ne {\int }_0^{2}f(x)dx=-2$ khi $f$ đổi dấu, nên khẳng định d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo Newton-Leibniz: $F(1)-F(0)={\int }_0^{1}f(x)dx=-\frac{7}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F(2)-F(0)={\int }_0^{2}f(x)dx=-2$ nên $F(2)=3-2=1\ne 5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\int f(x)dx=\frac{a{x}^3}{3}+\frac{b{x}^2}{2}+cx+C$; khẳng định đúng (bỏ qua hằng số $C$ tùy ý).
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai điều kiện chỉ cho 2 phương trình với 3 ẩn $a,b,c$ nên $f$ không xác định duy nhất; hơn nữa diện tích là ${\int }_0^2|f(x)|dx$ chứ không phải ${\int }_0^{2}f(x)dx=-2$, nên không thể kết luận diện tích bằng 2.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cắt ngang của trại là hình parabol với bề ngang 3 m, đỉnh cao 3 m. Chọn hệ trục sao cho parabol có dạng $y=3-\frac{4}{3}{x}^2$ (vì tại $x=\pm \frac{3}{2}$ thì $y=0$). Diện tích phần dưới parabol: $S={\int }_{-3/2}^{3/2}\left(3-\frac{4}{3}{x}^2\right)dx={\left[3x-\frac{4}{9}{x}^3\right]}_{-3/2}^{3/2}=9-\frac{4}{9}\cdot \frac{27}{4}=9-3=6$ (m²) (đúng bằng công thức $S=\frac{2}{3}\cdot$đáy$\cdot$cao $=\frac{2}{3}\cdot 3\cdot 3=6$). Thể tích lều $V=S\cdot 5=6\cdot 5=30$ m³.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^2-4x$.
a) Nguyên hàm: $\int f(x)dx=\frac{x^3}{3}-2x^2+C\ne 2x-4$ (biểu thức $2x-4$ là $f^{\prime }(x)$) → Sai.
b) $\frac{f(x)}{x^2}=1-\frac{4}{x}$, nên ${\int }_1^2\left(1-\frac{4}{x}\right)dx={\left[x-4\ln x\right]}_1^2=2-4\ln 2\ne 1-4\ln 2$ → Sai.
c) $f(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=4$; trên $(0;4)$ thì $f(x)<0$. Diện tích $S={\int }_0^4(4x-x^2)dx={\left[2x^2-\frac{x^3}{3}\right]}_0^4=32-\frac{64}{3}=\frac{32}{3}$ → Đúng.
d) $V=\pi {\int }_0^4(x^2-4x{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^4(x^4-8x^3+16x^2)dx=\pi \left(\frac{1024}{5}-512+\frac{1024}{3}\right)=\pi \cdot \frac{3072-7680+5120}{15}=\frac{512\pi }{15}$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $f(x)=x^2-4x$ là $\frac{x^3}{3}-2x^2+C$, còn $2x-4$ là $f^{\prime }(x)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^2\left(1-\frac{4}{x}\right)dx=2-4\ln 2$, không bằng $1-4\ln 2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S={\int }_0^4(4x-x^2)dx=\frac{32}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_0^4(x^2-4x{)}^{2}dx=\pi \left(\frac{1024}{5}-512+\frac{1024}{3}\right)=\frac{512\pi }{15}$, khớp với đề bài.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\int }_0^a\cos xdx=\sin a=\frac{1}{2}$. Với $a\in [\pi ;10\pi ]$, các nghiệm là $a=\frac{\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $a=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$.
- Dòng $a=\frac{\pi }{6}+2k\pi$: cần $\pi \le \frac{\pi }{6}+2k\pi \le 10\pi \Rightarrow \frac{5}{12}\le k\le \frac{59}{12}\approx 4,92$, nên $k\in \{1,2,3,4\}$: 4 giá trị.
- Dòng $a=\frac{5\pi }{6}+2k\pi$: cần $\frac{1}{12}\le k\le \frac{55}{12}\approx 4,58$, nên $k\in \{1,2,3,4\}$... kiểm tra $k=0$: $a=\frac{5\pi }{6}<\pi$ không nhận; $k=1,2,3,4$: 4 giá trị.
Vậy $S$ có $4+4=8$ phần tử.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: trên [-1;2], parabol có đỉnh (0;2) đi qua (-1;1) và (2;-2) nên f(x)=2-x^2. Trên [2;3], đoạn thẳng nối (2;-2) và (3;3) có hệ số góc 5 nên f(x)=5x-12.

F(1)=F(0)+∫₀¹(2-x^2)dx=0+(2x-x^3/3)|₀¹=2-1/3=5/3.

F(3)=F(0)+∫₀³f(x)dx=∫₀²(2-x^2)dx+∫₂³(5x-12)dx.
∫₀²(2-x^2)dx=(2x-x^3/3)|₀²=4-8/3=4/3.
∫₂³(5x-12)dx=(5x^2/2-12x)|₂³=(45/2-36)-(10-24)=-27/2+14=1/2.
Vậy F(3)=4/3+1/2=11/6.

F(1)+F(3)=5/3+11/6=10/6+11/6=21/6=3,5. Kết quả khớp với đáp án nguồn 3,5.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$, dương trên $[-1;1]\cup [2;3]$ và âm trên $[1;2]$. Với $F(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+2x$: $F(-1)=-\frac{23}{6},F(1)=\frac{5}{6},F(2)=\frac{2}{3},F(3)=\frac{3}{2}$.
$$I=(F(1)-F(-1))-(F(2)-F(1))+(F(3)-F(2))=\frac{14}{3}+\frac{1}{6}+\frac{5}{6}=\frac{17}{3}.$$
Vậy $a=17,b=3$, $T=a-b=14$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{2x^2+x-2}{x+1}=2x-1-\frac{1}{x+1}$. Do đó $I={\int }_0^3\left(2x-1-\frac{1}{x+1}\right)dx={\left[x^2-x-\ln (x+1)\right]}_0^3=(9-3-\ln 4)-0=6-\ln 4=6-2\ln 2$. Vậy $b=6$, $a=2$ và $T=a+2b=2+12=14$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $f^{\prime }(x)=2{\sin }^{2}x+1=2-\cos 2x$, ta có $f(x)=2x-\frac{\sin 2x}{2}+C$. Vì $f(0)=4$ nên $C=4$, tức $f(x)=2x-\frac{\sin 2x}{2}+4$. Khi đó $${\int }_0^{\pi /4}f(x)dx={\left[x^2+\frac{\cos 2x}{4}+4x\right]}_0^{\pi /4}=\frac{{\pi }^2}{16}+0-\frac{1}{4}+\pi =\frac{{\pi }^2+16\pi -4}{16}.$$ Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích: $y=\frac{x^2-2x}{x-1}=\frac{(x-1{)}^2-1}{x-1}=x-1-\frac{1}{x-1}$.

Hiệu giữa đường cong $(P)$ và đường thẳng $d:y=x-1$ là:
$$\left(x-1-\frac{1}{x-1}\right)-(x-1)=-\frac{1}{x-1}.$$

Với $a>1$, trên $[a,2a]$ ta có $x-1>0$ nên $-\frac{1}{x-1}<0$, tức $(P)$ nằm dưới $d$. Diện tích:
$$S={\int }_a^{2a}\frac{1}{x-1}dx=\ln (2a-1)-\ln (a-1)=\ln \frac{2a-1}{a-1}.$$

Cho $S=\ln 3$: $\frac{2a-1}{a-1}=3\Rightarrow 2a-1=3a-3\Rightarrow a=2$ (thỏa $a>1$).

Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=x^2-2x$ khi $x\ge 2$ và $f(x)=x-2$ khi $x<2$.
a) Trên $[1;2]$ (điểm $x=2$ không ảnh hưởng giá trị tích phân) có $f(x)=x-2$, nên ${\int }_1^{2}f(x)dx={\int }_1^2(x-2)dx=\left(\frac{x^2}{2}-2x\right){|}_1^2=(2-4)-\left(\frac{1}{2}-2\right)=-\frac{1}{2}$. Mệnh đề Đúng.
b) Trên $[2;3]$ có $f(x)=x^2-2x$, nên ${\int }_2^{3}f(x)dx={\int }_2^3(x^2-2x)dx=\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right){|}_2^3=(9-9)-\left(\frac{8}{3}-4\right)=\frac{4}{3}$. Mệnh đề Đúng.
c) Sai. Trên $[1;2]$ nguyên hàm của $x-2$ là $\frac{x^2}{2}-2x$ nên vế đầu $\left(\frac{x^2}{2}-2x\right){|}_1^2$ đúng; nhưng trên $[2;3]$ nguyên hàm của $x^2-2x$ là $\frac{x^3}{3}-x^2$, do đó vế sau phải là $\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right){|}_2^3$ chứ không phải $\left(\frac{x^2}{2}-2x\right){|}_2^3$. Biểu thức đúng: ${\int }_1^{3}f(x)dx=\left(\frac{x^2}{2}-2x\right){|}_1^2+\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right){|}_2^3$.
d) ${\int }_1^{3}f(x)dx=-\frac{1}{2}+\frac{4}{3}=\frac{-3+8}{6}=\frac{5}{6}$. Mệnh đề Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trên $[1;2]$ có $f(x)=x-2$ nên ${\int }_1^{2}f(x)dx={\int }_1^2(x-2)dx=\left(\frac{x^2}{2}-2x\right){|}_1^2=-\frac{1}{2}$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trên $[2;3]$ có $f(x)=x^2-2x$ nên ${\int }_2^{3}f(x)dx={\int }_2^3(x^2-2x)dx=\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right){|}_2^3=\frac{4}{3}$. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Sai. Trên $[1;2]$ nguyên hàm của $x-2$ là $\frac{x^2}{2}-2x$ nên vế đầu đúng; nhưng trên $[2;3]$ nguyên hàm của $x^2-2x$ là $\frac{x^3}{3}-x^2$, nên vế sau phải là $\left(\frac{x^3}{3}-x^2\right){|}_2^3$ chứ không phải $\left(\frac{x^2}{2}-2x\right){|}_2^3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^{3}f(x)dx=-\frac{1}{2}+\frac{4}{3}=\frac{5}{6}$. Đúng.