Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ thỏa mãn $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x-1}$, $f(0)=2017$, $f(2)=2018$. Tính $S=f(3)-f(-1)$.

Cho ${\int }_2^{5}f(x)dx=10$. Kết quả ${\int }_2^5[2-4f(x)]dx$ bằng

Tính tích phân $I={\int }_1^e\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx$.

Cho ${\int }_4^5\frac{1-2x}{x^2-5x+6}dx=a\ln \frac{3}{2}+b\ln 2$ với $a,b\in \mathbb{Q}$. Mệnh đề nào đúng?

Cho ${\int }_0^{1}f(x)dx=-1$, ${\int }_0^{3}f(x)dx=5$. Tính ${\int }_1^{3}f(x)dx$.

Cho hàm số $f(x)$ liên tục, có đạo hàm trên $[-1;2]$, $f(-1)=8$, $f(2)=-1$. Tích phân ${\int }_{-1}^2{f}^{\prime }(x)dx$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[0;1]$, thỏa mãn ${\int }_0^{1}f(x)dx=3$ và $f(1)=4$. Tích phân ${\int }_0^{1}x{f}^{\prime }(x)dx$ có giá trị là

Cho hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ thỏa mãn $x^2{f}^2(x)+(2x-1)f(x)=x{f}^{\prime }(x)-1$, với mọi $x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ đồng thời thỏa $f(1)=-2$. Tính ${\int }_1^{2}f(x)dx$.

Viết công thức tính diện tích $S$ của hình $H$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,x=b$ ($a<b$).

Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2$, trục hoành $Ox$, các đường thẳng $x=1,x=2$ là

Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành, đường thẳng $x=a,x=b$. Hỏi cách tính $S$ nào dưới đây đúng?

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^2-2x$ và đồ thị hàm số $y=x$.

Trong hệ tọa độ $Oxy$, parabol $y=\frac{x^2}{2}$ chia đường tròn tâm $O$ (với $O$ là gốc tọa độ) bán kính $r=2\sqrt{2}$ thành 2 phần. Diện tích phần nhỏ bằng

Trong hệ trục tọa độ $Oxy$, cho parabol $(P):y=x^2$ và hai đường thẳng $y=a,y=b$ ($0<a<b$) (hình vẽ). Gọi $S_1$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P)$ và đường thẳng $y=a$ (phần tô đen); $S_2$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $(P)$ và đường thẳng $y=b$ (phần gạch chéo). Với điều kiện nào sau đây của $a$ và $b$ thì $S_1=S_2$?

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\tan x$, trục hoành và các đường thẳng $x=0,x=\frac{\pi }{4}$ quanh trục $Ox$ là

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x}$, $y=0$, $x=2$ quay xung quanh trục $Ox$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng

Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\frac{1}{x}$, $y=0$, $x=1$, $x=2$ quanh trục $Ox$ là

Tìm phần thực và phần ảo của số phức $z=3-2i$.

Tìm số phức liên hợp $\bar{z}$ của số phức $z$ biết $w=(3-4i)z$ có $w=3+5i$.

Cho hai số phức $z_1=m-1+3i$ và $z_2=2-mi$ ($m\in \mathbb{R}$). Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $z_1\cdot z_2$ là số thực.

Cho số phức $z=2+i$. Phần thực và phần ảo của số phức $z$ lần lượt là

Kí hiệu $a,b$ lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức $z=-4-3i$. Tìm $a,b$.

Cho số phức $z$ thỏa mãn: $(2-3i)z+(4+i)\bar{z}=-(1+3i{)}^2$. Xác định phần thực và phần ảo của $z$.

Môđun của số phức $z=(2-3i)(1+i{)}^4$ là

Tính môđun của số phức $z$ biết $(1-2i)z=2+3i$.

Cho hai số phức $z_1,z_2$ thỏa mãn $|z_1|=|z_2|=1$. Khi đó $|z_1+z_2{|}^2+|z_1-z_2{|}^2$ bằng

Cho $z_1,z_2$ là hai nghiệm của phương trình $z^2-2z+2=0$ ($z\in \mathbb{C}$). Tính giá trị của biểu thức $P=2|z_1+z_2|+|z_1-z_2|$.

Gọi $z_1,z_2$ là các nghiệm của phương trình $z^2-2z+5=0$. Tính $P=z_1^4+z_2^4$.

Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $|z-i|=|iz|$ là

Cho hai số phức $z_1,z_2$ thỏa mãn $|z_1-3i+5|=2$ và $|i{z}_2-1+2i|=4$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=|2i{z}_1+3z_2|$.

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(1;-2;3)$. Tọa độ điểm $A$ là hình chiếu vuông góc của điểm $M$ trên mặt phẳng $(Oyz)$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;1;-1)$ và $B(2;3;2)$. Vectơ $\overrightarrow{AB}$ có tọa độ là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+(z-3{)}^2=9$. Tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ lần lượt là

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(P):2x-3y+z-1=0$ có một vectơ pháp tuyến là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;-1)$ và $B(-3;0;-1)$. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1;0;0),B(0;2;0),C(0;0;3)$. Mặt phẳng $(ABC)$ có phương trình là

Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $M(1;2;-3)$ đến mặt phẳng $(P):x+2y-2z-2=0$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;-1)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P):x-2y-2z-8=0$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(9;1;1)$ cắt các tia $Ox,Oy,Oz$ tại $A,B,C$ ($A,B,C$ không trùng với gốc tọa độ). Thể tích tứ diện $OABC$ đạt giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+1}{-1}$. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng $d$?

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x-3}{-2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+4}{3}$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$?

Trong không gian $Oxyz$, phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm $M(1;2;0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2;1;-3)$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x-2y+z=0$ và đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{-1}$. Gọi $\Delta$ là một đường thẳng chứa trong $(P)$, cắt và vuông góc với $d$. Vectơ $\vec{u}=(a;1;b)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$. Tính tổng $S=a+b$.

Trong không gian tọa độ $Oxyz$, xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3}$ và ${\Delta }_2:\frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+2}{1}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{1}$ và hai điểm $A(1;2;-5),B(-1;0;2)$. Biết điểm $M$ thuộc $\Delta$ sao cho biểu thức $T=|MA-MB|$ đạt giá trị lớn nhất là $T_{\max }$. Khi đó, $T_{\max }$ bằng bao nhiêu?