Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{1}$ và hai điểm $A(1;2;-5),B(-1;0;2)$. Biết điểm $M$ thuộc $\Delta$ sao cho biểu thức $T=|MA-MB|$ đạt giá trị lớn nhất là $T_{\max }$. Khi đó, $T_{\max }$ bằng bao nhiêu?

Theo bất đẳng thức tam giác, với ba điểm $M,A,B$ bất kì ta luôn có:
$|MA-MB|\le AB.$
Dấu bằng xảy ra khi ba điểm $M,A,B$ thẳng hàng và $B$ nằm giữa $M$ và $A$ (hoặc $A$ nằm giữa $M$ và $B$), tức là $M$ là giao điểm của đường thẳng $AB$ với đường thẳng $\Delta$.
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-2;-2;7)$. Phương trình đường thẳng $AB$: $\{\begin{array}{l}x=-1-2t^{\prime }\\ y=-2t^{\prime }\\ z=2+7t^{\prime }\end{array}$.
Xét giao điểm của đường thẳng $AB$ và $\Delta$: $t=-1-2t^{\prime }=-2t^{\prime }+1=2+7t^{\prime }$, tìm được giao điểm $C\left(-\frac{1}{3};\frac{2}{3};-\frac{1}{3}\right)$.
Kiểm tra thấy điểm $B$ nằm giữa $A$ và $C$.
Do đó khi $M\equiv C$ thì $|MA-MB|=AB=\sqrt{(-2{)}^2+(-2{)}^2+7^2}=\sqrt{4+4+49}=\sqrt{57}$.