Trong hệ tọa độ $Oxy$, parabol $y=\frac{x^2}{2}$ chia đường tròn tâm $O$ (với $O$ là gốc tọa độ) bán kính $r=2\sqrt{2}$ thành 2 phần. Diện tích phần nhỏ bằng

Phương trình đường tròn tâm $O$ bán kính $r=2\sqrt{2}$ là $x^2+y^2=8$.
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường tròn:
$x^2+{\left(\frac{x^2}{2}\right)}^2=8\iff \frac{x^4}{4}+x^2-8=0\iff x^2=4\iff x=\pm 2.$

Diện tích phần nhỏ giới hạn bởi nửa trên đường tròn $y=\sqrt{8-x^2}$ và parabol $y=\frac{x^2}{2}$ là:
$S={\int }_{-2}^2\left(\sqrt{8-x^2}-\frac{x^2}{2}\right)dx=2{\int }_0^2\sqrt{8-x^2}dx-{\int }_{-2}^2\frac{x^2}{2}dx.$
- Đặt $x=2\sqrt{2}\sin t$, tính được tích phân đường tròn $2{\int }_0^2\sqrt{8-x^2}dx=2\pi +4$.
- Tích phân parabol ${\int }_{-2}^2\frac{x^2}{2}dx={\left[\frac{x^3}{6}\right]}_{-2}^2=\frac{8}{6}-\left(-\frac{8}{6}\right)=\frac{8}{3}$.
Do đó $S=2\pi +4-\frac{8}{3}=2\pi +\frac{4}{3}$.