Tìm $a$ để diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi $(P):y=\frac{x^2-2x}{x-1}$, đường thẳng $d:y=x-1$ và $x=a$, $x=2a$ $(a>1)$ bằng $\ln 3$?

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích: $y=\frac{x^2-2x}{x-1}=\frac{(x-1{)}^2-1}{x-1}=x-1-\frac{1}{x-1}$.

Hiệu giữa đường cong $(P)$ và đường thẳng $d:y=x-1$ là:
$$\left(x-1-\frac{1}{x-1}\right)-(x-1)=-\frac{1}{x-1}.$$

Với $a>1$, trên $[a,2a]$ ta có $x-1>0$ nên $-\frac{1}{x-1}<0$, tức $(P)$ nằm dưới $d$. Diện tích:
$$S={\int }_a^{2a}\frac{1}{x-1}dx=\ln (2a-1)-\ln (a-1)=\ln \frac{2a-1}{a-1}.$$

Cho $S=\ln 3$: $\frac{2a-1}{a-1}=3\Rightarrow 2a-1=3a-3\Rightarrow a=2$ (thỏa $a>1$).

Vậy đáp án D.