Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đại lượng tích lũy (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
a) T1(0)=20°C nên T1(t)=20+∫0..t 75e^{-s}ds=20+75(1-e^{-t})=95-75e^{-t}. Đúng.
b) Nước đạt 85°C khi 95-75e^{-t}=85 ⟹ e^{-t}=2/15 ⟹ t=ln(7.5)≈2,0149 phút. Sau đó T2(t)=15+70e^{-t/20}; nhiệt độ xuống 40°C khi 15+70e^{-t/20}=40 ⟹ e^{-t/20}=5/14 ⟹ t=20ln(14/5)≈20,59 phút. Tổng thời gian từ lúc bật bếp ≈ 2,01+20,59 ≈ 22,6 ≈ 23 phút, không phải 25 phút. Sai.
c) Thời gian đạt 85°C là t=ln(7.5)≈2,0149 phút ≈ 121 giây, không phải 180 giây (T1(3)=95-75e^{-3}≈91,3°C). Sai.
d) T2(0)=85 ⟹ 15+a=85 ⟹ a=70. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
T1(0)=20 và T1'(t)=75e^{-t} nên T1(t)=20+75(1-e^{-t})=95-75e^{-t}.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nước đạt 85°C sau t=ln(7.5)≈2,01 phút; sau đó xuống 40°C sau 20ln(14/5)≈20,59 phút; tổng ≈22,6≈23 phút, không phải 25 phút.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thời gian đạt 85°C là ln(7.5)≈2,0149 phút ≈ 121 giây, không phải 180 giây.
d) (AI giải đề cho tôi)
T2(0)=85 ⟹ 15+a=85 ⟹ a=70.

(AI giải đề cho tôi)
Sau năm đầu tiên ($x=1$) cây cao $h(1)=3$ m. Với $x\ge 1$, tốc độ phát triển là $h^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{2}}{x}$. Chiều cao tăng thêm từ năm thứ 1 đến năm thứ 5 là:
$$h(5)-h(1)={\int }_1^5\frac{\sqrt{2}}{x}dx=\sqrt{2}\ln x{|}_1^5=\sqrt{2}\ln 5.$$
Vậy $h(5)=3+\sqrt{2}\ln 5\approx 3+1,4142\cdot 1,6094\approx 3+2,2761=5,2761\approx 5,28$ m. Kết quả khớp với đáp án nguồn 5,28.

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân T1'(t)=75e^{-t} với T1(0)=20 cho T1(t)=20+75(1-e^{-t})=95-75e^{-t} (ý b đúng). T1(t)=85 ⟺ e^{-t}=2/15 ⟹ t=ln(7.5)≈2,0149 phút ≈ 121 giây, không phải 180 giây (ý a sai). Tại lúc tắt bếp T2(0)=85 ⟹ 15+a=85 ⟹ a=70 (ý d đúng). Sau khi tắt bếp: 15+70e^{-t/20}=40 ⟹ e^{-t/20}=5/14 ⟹ t=20ln(14/5)≈20,52 phút; tổng thời gian từ lúc bật bếp ≈ 2,01+20,52≈22,53 ≈ 23 phút, không phải 25 phút (ý c sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
T1(t)=95-75e^{-t}=85 ⟹ t=ln(7,5)≈2,0149 phút ≈ 121 giây, không phải 180 giây.
b) (AI giải đề cho tôi)
T1(t)=20+∫0^t 75e^{-s}ds=20+75(1-e^{-t})=95-75e^{-t}.
c) (AI giải đề cho tôi)
Sau khi tắt bếp: 15+70e^{-t/20}=40 ⟹ t=20ln(14/5)≈20,52 phút; tổng từ lúc bật bếp ≈ 2,01+20,52≈22,53 ≈ 23 phút, không phải 25 phút.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tại lúc tắt bếp T2(0)=85 ⟹ 15+a=85 ⟹ a=70.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $T_1^{\prime }(t)=75e^{-t}$, $T_1(0)=20$ nên $T_1(t)=20+{\int }_0^{t}75e^{-u}du=20+75(1-e^{-t})=95-75e^{-t}$ → c) đúng.
a) Tại lúc tắt bếp $T_2(0)=85=15+a\Rightarrow a=70$ → đúng.
b) $95-75e^{-t}=85\Rightarrow e^{-t}=2/15\Rightarrow t=\ln 7.5\approx 2,015$ phút $\approx 121$ giây, không phải 180 giây → sai.
d) Nước đạt 85°C tại $t_1=\ln 7.5\approx 2,015$ phút. Sau đó $T_2(s)=15+70e^{-s/20}=40\Rightarrow e^{-s/20}=5/14\Rightarrow s=20\ln (14/5)\approx 20,59$ phút. Tổng $\approx 22,6\approx 23$ phút, không phải 25 phút → sai. Khớp đáp án ĐSDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tại lúc tắt bếp nước đạt 85°C nên $T_2(0)=85=15+a\Rightarrow a=70$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$95-75e^{-t}=85\Rightarrow t=\ln 7.5\approx 2,015$ phút $\approx 121$ giây, không phải 180 giây.
c) (AI giải đề cho tôi)
$T_1(t)=20+{\int }_0^{t}75e^{-u}du=95-75e^{-t}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng thời gian $=\ln 7.5+20\ln (14/5)\approx 22,6\approx 23$ phút, không phải 25 phút.

(AI giải đề cho tôi)
Xe dừng khi $v(t)=0\Rightarrow 20-4t=0\Rightarrow t=5$ (giây). Quãng đường đi được là ${\int }_0^5(20-4t)dt={\left[20t-2t^2\right]}_0^5=100-50=50$ (m).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục toạ độ Oxy tại tâm tấm thảm, đơn vị cm. Tấm thảm là hình vuông cạnh 80 cm nên các đỉnh có toạ độ (±40; ±40). Đường cong là phần đồ thị $y=\frac{1}{x}$ (x tính bằng cm) — đồ thị này ôm sát hai trục, đúng như hình vẽ (phần trắng là dải hẹp dọc theo hai trục qua tâm).

Xét phần trắng trong góc phần tư thứ nhất: là miền nằm dưới đường cong $y=1/x$, bên trong hình vuông $[0;40{]}^2$. Đường cong cắt cạnh trên tại $x=1/40$ và cạnh phải tại $y=1/40$. Diện tích phần trắng này:
$$S_{trang}^{(1)}={\int }_0^{1/40}40dx+{\int }_{1/40}^{40}\frac{1}{x}dx=40\cdot \frac{1}{40}+\ln (40:\frac{1}{40})=1+\ln 1600\approx 1+7,3778=8,3778{\text{ cm}}^2.$$

Do đối xứng, tổng diện tích phần trắng:
$$S_{trang}=4(1+\ln 1600)\approx 33,5111{\text{ cm}}^2=0,00335111{\text{ m}}^2.$$

Diện tích phần tô đậm:
$$S_{dam}=6400-33,5111=6366,4889{\text{ cm}}^2=0,63664889{\text{ m}}^2.$$

Giá tấm thảm:
$$P=3\cdot 0,63664889+2\cdot 0,00335111\approx 1,90995+0,00670=1,91665\approx 1,92\text{ triệu đoˆˋng}.$$

Vậy tấm thảm có giá khoảng $1,92$ triệu đồng.

a) Vận tốc hạt: $v(t)=x^{\prime }(t)=1-\frac{2}{t+1}$ (Sai).
b) Vận tốc ban đầu: $v(0)=1-\frac{2}{1}=-1(m/s)$. (Sai)
c) Vận tốc tức thời tại t = 1 (s): $v(1)=1-\frac{2}{1+1}=0(m/s)$. (Đúng)
d) Quãng đường đi được trong 4 s đầu:
$$s=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left|v(t)dt\right|=\left|\underset{0}{\overset{1}{\int }}v(t)dt\right|+\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left|v(t)\right|dt=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\frac{2}{t+1}-1\right)dt+\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(1-\frac{2}{t+1}\right)dt=1,55(m).(\text{Đuˊng})$$
a) Vận tốc hạt: $v(t)=x^{\prime }(t)=1-\frac{2}{t+1}$ (Sai).
b) Vận tốc ban đầu: $v(0)=1-\frac{2}{1}=-1(m/s)$. (Sai)
c) Vận tốc tức thời tại t = 1 (s): $v(1)=1-\frac{2}{1+1}=0(m/s)$. (Đúng)
d) Quãng đường đi được trong 4 s đầu:
$$s=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left|v(t)dt\right|=\left|\underset{0}{\overset{1}{\int }}v(t)dt\right|+\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left|v(t)\right|dt=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\frac{2}{t+1}-1\right)dt+\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(1-\frac{2}{t+1}\right)dt=1,55(m).(\text{Đuˊng})$$

(AI giải đề cho tôi)
Từ $x(t)=t-2\ln (t+1)$ ta có $v(t)=x^{\prime }(t)=1-\frac{2}{t+1}$ (với $t\ge 0$).
a) Sai: $v(t)=1-\frac{2}{t+1}$, không phải $2-\frac{3}{t+1}$.
b) Sai: $v(0)=1-2=-1$ m/s, không phải 2 m/s.
c) Đúng: $v(1)=1-\frac{2}{2}=0$ m/s.
d) Đúng: $v(t)=0\iff t=1$; $v(t)<0$ trên $[0;1)$ và $v(t)>0$ trên $(1;4]$. Quãng đường $S={\int }_0^4|v(t)|dt={\int }_0^1\left(\frac{2}{t+1}-1\right)dt+{\int }_1^4\left(1-\frac{2}{t+1}\right)dt$. Tính: $x(1)=1-2\ln 2\approx -0,3863$; $x(4)=4-2\ln 5\approx 0,7811$. Vậy $S=|x(1)-x(0)|+|x(4)-x(1)|\approx 0,3863+1,1674=1,5537\approx 1,55$ m.
a) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=x^{\prime }(t)=1-\frac{2}{t+1}$, không phải $2-\frac{3}{t+1}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$v(0)=1-\frac{2}{1}=-1$ m/s, không phải 2 m/s.
c) (AI giải đề cho tôi)
$v(1)=1-\frac{2}{2}=0$ m/s.
d) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=0$ tại $t=1$; $S={\int }_0^1\left(\frac{2}{t+1}-1\right)dt+{\int }_1^4\left(1-\frac{2}{t+1}\right)dt=|x(1)-x(0)|+|x(4)-x(1)|\approx 0,3863+1,1674\approx 1,55$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Giai đoạn trong chậu (0 ≤ t ≤ 4): $h(4)={\int }_0^4(0,2t+0,15)dt=\left(0,1t^2+0,15t\right){|}_0^4=0,1\cdot 16+0,6=2,2$ (m). Giai đoạn trồng xuống đất, sau 6 năm trồng xuống đất tức là $t=10$: $h(10)=h(4)+{\int }_4^{10}\frac{11}{t}dt=2,2+11\ln \frac{10}{4}=2,2+11\ln 2,5\approx 2,2+10,0792=12,2792\approx 12,3$ (m). Vậy chọn đáp án D, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Số lượng virút sau 10 ngày là $N(10)=N(1)+{\int }_1^{10}{N}^{\prime }(t)dt=250000+{\int }_1^{10}\frac{1000}{t}dt=250000+1000\ln 10\approx 250000+2302,59\approx 252303$ con. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Quãng đường là tích phân của vận tốc: $s={\int }_4^{10}(3t^2+5)dt=\left(t^3+5t\right){|}_4^{10}=(1000+50)-(64+20)=1050-84=966(m)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $h(0)=0$, nguyên hàm của $h^{\prime }(t)=3a{t}^2+bt$ là $h(t)=a{t}^3+\frac{b}{2}{t}^2$. Từ $h(5)=150$: $125a+\frac{25}{2}b=150$. Từ $h(10)=1100$: $1000a+50b=1100$. Nhân phương trình đầu với 8: $1000a+100b=1200$, trừ phương trình thứ hai được $50b=100\Rightarrow b=2$, suy ra $125a+25=150\Rightarrow a=1$. Vậy $h(t)=t^3+t^2$ và $h(20)=8000+400=8400m^3$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ô tô dừng khi $v(t)=0\Rightarrow 10-5t=0\Rightarrow t=2$ (giây). Quãng đường đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là $s={\int }_0^2(10-5t)dt={\left[10t-\frac{5t^2}{2}\right]}_0^2=20-10=10$ (m). Vậy ô tô còn di chuyển $10$ m, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $v(t)=t^2-3t+2=(t-1)(t-2)$. Trên $[1;2]$ thì $v(t)\le 0$, trên $[2;3]$ thì $v(t)\ge 0$. Do đó $${\int }_1^3|v(t)|dt={\int }_1^2-(t^2-3t+2)dt+{\int }_2^3(t^2-3t+2)dt.$$ Tính: ${\int }_1^2(t^2-3t+2)dt={\left[\frac{t^3}{3}-\frac{3t^2}{2}+2t\right]}_1^2=\frac{2}{3}-\frac{5}{6}=-\frac{1}{6}$, nên phần đầu bằng $\frac{1}{6}$. Tiếp: ${\int }_2^3(t^2-3t+2)dt=\left(9-\frac{27}{2}+6\right)-\frac{2}{3}=\frac{3}{2}-\frac{2}{3}=\frac{5}{6}$. Tổng quãng đường $=\frac{1}{6}+\frac{5}{6}=1$ (m). Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Sự thay đổi lợi nhuận khi doanh số tăng từ 50 lên 70 đơn vị là $\Delta P={\int }_{50}^{70}{P}^{\prime }(x)dx={\int }_{50}^{70}(-0,0002x+3)dx$. Nguyên hàm: $P(x)=-0,0001x^2+3x$. Do đó $\Delta P={\left[-0,0001x^2+3x\right]}_{50}^{70}=\left(-0,49+210\right)-\left(-0,25+150\right)=209,51-149,75=59,76$ triệu đồng. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc $v(t)=-12t+24$ (m/s), quãng đường là nguyên hàm của vận tốc: $s(t)=\int (-12t+24)dt=-6t^2+24t+C$. Vì $s(0)=0$ (khoảng cách tính từ lúc đạp phanh) nên $C=0$, tức $s(t)=-6t^2+24t$.
a) Đúng: quãng đường là nguyên hàm của vận tốc, $s(t)=\int (-12t+24)dt$.
b) Sai: hằng số $C$ phải bằng 0 vì $s(0)=0$, nên $s(t)=-6t^2+24t$, không phải $-6t^2+24t+24$.
c) Đúng: $s(1)=-6+24=18$ m.
d) Đúng: ô tô dừng khi $v(t)=0\iff t=2$; quãng đường $s(2)=-24+48=24$ m.
a) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường là nguyên hàm của vận tốc: $s(t)=\int (-12t+24)dt$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $s(0)=0$ nên $C=0$, do đó $s(t)=-6t^2+24t$, không phải $-6t^2+24t+24$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$s(1)=-6(1{)}^2+24(1)=18$ m.
d) (AI giải đề cho tôi)
Ô tô dừng khi $v(t)=0\iff t=2$ giây; $s(2)=-24+48=24$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $a(t)=\frac{1}{(t+1)(t+2)}=\frac{1}{t+1}-\frac{1}{t+2}$, nên $v(t)=\int a(t)dt=\ln \left|\frac{t+1}{t+2}\right|+C$. Với $v(0)=\ln \frac{1}{2}+C=-\ln 2+C=3\ln 2$ suy ra $C=4\ln 2$, tức $v(t)=\ln \left|\frac{t+1}{t+2}\right|+4\ln 2$. a) Sai: $v(t)=\int a(t)dt$ chỉ cho họ nguyên hàm, còn thiếu hằng số xác định bởi $v_0=3\ln 2$. b) Đúng theo tính toán trên. c) Sai: $v(10)=\ln \frac{11}{12}+4\ln 2=\ln \frac{16\cdot 11}{12}=\ln \frac{44}{3}\approx 2,686\ne 2,86$ m/s. d) Đúng: $v(t)=4\ln 2\iff \ln \left|\frac{t+1}{t+2}\right|=0\iff \frac{t+1}{t+2}=1$, vô nghiệm (với $t\ge 0$, $\frac{t+1}{t+2}<1$).
a) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=\int a(t)dt$ chỉ xác định vận tốc sai khác một hằng số; cần thêm điều kiện $v(0)=3\ln 2$ để xác định hoàn toàn.
b) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=\ln \left|\frac{t+1}{t+2}\right|+C$ và $v(0)=-\ln 2+C=3\ln 2\Rightarrow C=4\ln 2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$v(10)=\ln \frac{11}{12}+4\ln 2=\ln \frac{44}{3}\approx 2,686$ m/s, không phải 2,86 m/s.
d) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=4\ln 2\iff \ln \left|\frac{t+1}{t+2}\right|=0\iff \frac{t+1}{t+2}=1$, vô nghiệm với $t\ge 0$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $v(t)=2,01t-0,025t^2$, quãng đường $s(t)={\int }_0^{t}v(x)dx=1,005t^2-\frac{0,025t^3}{3}$.
a) Sai: biểu thức $2,01-0,05t$ là gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)$, không phải quãng đường. Quãng đường là $s(t)=1,005t^2-\frac{0,025}{3}{t}^3$.
b) Đúng: $s(3)=1,005\cdot 9-\frac{0,025\cdot 27}{3}=9,045-0,225=8,82$ m.
c) Đúng: quãng đường trong giây thứ 9 là ${\int }_8^{9}v(t)dt=s(9)-s(8)$. Tính $s(9)=1,005\cdot 81-\frac{0,025\cdot 729}{3}=81,405-6,075=75,33$; $s(8)=1,005\cdot 64-\frac{0,025\cdot 512}{3}=64,32-4,2667=60,0533$. Vậy $s(9)-s(8)\approx 15,277$ m.
d) Đúng: $v^{\prime }(t)=2,01-0,05t=0\iff t=40,2>10$, nên trên $[0;10]$ hàm $v$ đồng biến, vận tốc lớn nhất tại $t=10$. Gia tốc khi đó $a(10)=2,01-0,05\cdot 10=1,51$ m/s².
a) (AI giải đề cho tôi)
Biểu thức $2,01-0,05t$ là gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)$; quãng đường là $s(t)=1,005t^2-\frac{0,025}{3}{t}^3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$s(3)=1,005\cdot 9-0,025\cdot 9=9,045-0,225=8,82$ m.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_8^{9}v(t)dt=s(9)-s(8)=75,33-60,0533\approx 15,277$ m.
d) (AI giải đề cho tôi)
$v$ đồng biến trên $[0;10]$ vì $v^{\prime }(t)>0$ với $t<40,2$; max tại $t=10$, gia tốc $a(10)=1,51$ m/s².

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $B^{\prime }(t)=\frac{2436e^{-0,193t}}{(1+784e^{-0,193t}{)}^2}$. Đặt $u=1+784e^{-0,193t}$ thì $du=-0,193\cdot 784e^{-0,193t}dt$, nên nguyên hàm là $B(t)=\frac{2436}{0,193\cdot 784}\cdot \frac{1}{1+784e^{-0,193t}}+C=\frac{16,1}{1+784e^{-0,193t}}+C$. Với $B(8)=0,04$: $e^{-1,544}\approx 0,2135$, $1+784\cdot 0,2135\approx 168,4$, nên $C=0,04-\frac{16,1}{168,4}\approx 0,04-0,0956=-0,0556$. Tại $t=25$: $e^{-4,825}\approx 0,008028$, $1+784\cdot 0,008028\approx 7,294$, $\frac{16,1}{7,294}\approx 2,2073$. Vậy $B(25)\approx 2,2073-0,0556\approx 2,15$ ounce.

(AI giải đề cho tôi)
Ô tô dừng lại khi $v(t)=0\iff 27-9\sqrt{t}=0\iff \sqrt{t}=3\iff t=9$ (giây).

Quãng đường đi được từ $t=0$ đến $t=9$ là:
$$s={\int }_0^9(27-9\sqrt{t})dt={\left[27t-9\cdot \frac{2}{3}{t}^{3/2}\right]}_0^9={\left[27t-6t\sqrt{t}\right]}_0^9.$$

Thay $t=9$: $s=27\cdot 9-6\cdot 9\cdot 3=243-162=81$.

Vậy quãng đường ô tô di chuyển được là $81$ (đơn vị độ dài, ví dụ mét nếu $v$ tính bằng m/s).