Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đại lượng tích lũy (Toán học Lớp 12)

Một vật chuyển động với vận tốc ban đầu bằng 0, vận tốc biến đổi theo quy luật, và có gia tốc $a=0,3m/s^2$. Xác định quãng đường vật đó đi được trong 40 phút đầu tiên.

Tại một quảng trường hình tròn có đường kính bằng 10 $m^2$. Người ta trồng hoa ở giữa quảng trường sao cho phần được trồng hoa nằm giới hạn giữa hai đường Parabol đối xứng nhau qua AB, nằm trong hình tròn, đi qua các điểm A, B và có đỉnh cách mép hình tròn 1m (tham khảo hình vẽ bên). Biết chi phí trồng hoa là 200 nghìn đồng 1 mét vuông, phần còn lại được lát gốm sứ với chi phí 800 nghìn đồng 1 mét vuông. Tổng chi phí để hoàn thành khu vực này bằng

Trong dây chuyền sản xuất sữa chua hiện đại của một nhà máy thực phẩm, từng giọt sữa dạng âm thầm chuyển mình dưới tác động của hàng triệu vi khuẩn Lactic, những "nghệ nhân tí hon" kiến tạo vị chua thanh đặc trưng. Mật độ vi khuẩn (số triệu tế bào trên mỗi ml sữa chua) tại thời điểm $t$ (giờ) được ký hiệu là $N(t)$. Ban đầu ($t=0$ giờ), mật độ vi khuẩn đo được là $N(0)=10$ triệu tế bào/ml. Do sự thay đổi về nguồn dinh dưỡng (đường lactose giảm) và độ pH (axit lactic tăng) nên tốc độ thay đổi mật độ vi khuẩn $N^{\prime }(t)$ (đơn vị: triệu tế bào/ml mỗi giờ) được mô hình hóa bởi công thức:
$N^{\prime }(t)=22t-3t^2$ (triệu tế bào/ml/giờ) với $t$ là thời gian tính bằng giờ ($0\le t\le 10$).

Trong dây chuyền sản xuất sữa chua hiện đại của một nhà máy thực phẩm, từng giọt sữa dạng âm thầm chuyển mình dưới tác động của hàng triệu vi khuẩn Lactic, những "nghệ nhân tí hon" kiến tạo vị chua thành đặc trưng. Mật độ vi khuẩn (số triệu tế bào trên mỗi ml sữa chua) tại thời điểm $t$ (giờ) được ký hiệu là $N(t)$. Ban đầu ($t=0$ giờ), mật độ vi khuẩn đo được là $N(0)=10$ triệu tế bào/ml. Do sự thay đổi về nguồn dinh dưỡng (đường lactose giảm) và độ pH (axit lactic tăng) nên tốc độ thay đổi mật độ vi khuẩn $N^{\prime }(t)$ (đơn vị: triệu tế bào/ml mỗi giờ) được mô hình hóa bởi công thức:
$N^{\prime }(t)=22t-3t^2$ (triệu tế bào/ml/giờ) với $t$ là thời gian tính bằng giờ $(0\le t\le 10)$.

Bạch Đằng sóng dậy một trời đông,
Cọc ngầm dựng thẳng khóa muôn dòng.
Nam Hán thuyền tan theo triều xuống,
Toàn quân đại thắng giữ non sông.

Chiến thắng Bạch Đằng năm 938 là đỉnh cao nghệ thuật quân sự, khi Ngô Quyền đã đoán định chính xác nhịp lên, xuống của thủy triều để như thủy quân Nam Hán vào sâu bên trong, rồi phản công đúng thời khắc nước rút, qua đó đánh đuổi được giặc xâm lăng ra khỏi bờ cõi. Để mô hình hóa chiến thuật “canh con nước” ấy dưới lăng kính Giải tích, ta xét bài toán sau:



Xét một bãi cọc được đóng sâu xuống bùn theo phương thẳng đứng; chiều cao mỗi cọc (tính từ mặt bùn đến đầu cọc) là 2,4 m.

Gọi $h(t)$ (tính bằng mét) là độ sâu mực nước tại bãi cọc (tính từ mặt bùn đến mặt nước) ở thời điểm $t$ giờ, trong đó $t=0$ ứng với thời điểm 09:00 trong ngày với $0\le t\le 4$. Thời gian này, mực nước rút nên $h(t)$ giảm theo quy luật $h^{\prime }(t)=-0,25t-0,05$ (mét/giờ). Biết rằng vào lúc 09:00, mực nước tại bãi cọc cao hơn mặt bùn 3,3 m (tức là $h(0)=3,3$ (m)).

Khi Ngô Quyền phát lệnh phản công, ông biết rằng thuyền địch sẽ quay đầu tháo chạy và mất 12 phút để tới bãi cọc. Ngô Quyền muốn đúng lúc thuyền địch tới bãi cọc thì đầu cọc còn chìm dưới mặt nước 0,5 m.

Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:

Trong 12 giây đầu tiên, một tàu hỏa cao tốc chuyển động nhanh dần đều với vận tốc được cho theo công thức $v(t)=5t$ $(m/s)$ với $t$ là thời gian tính theo giây.

Một ô tô chuyển động nhanh dần đều với vận tốc $v(t)=7t(\text{m/s})$. Đi được 5 (s) người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a=-35({\text{m/s}}^2)$. Tính quãng đường của ô tô đi được từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn?

Một vật chuyển động thẳng với vận tốc $v(t)$ $(m/s)$ theo thời gian $t(s)$ được cho bởi đồ thị như hình vẽ bên dưới:

Một quần thể vi khuẩn ban đầu gồm 500 vi khuẩn, sau đó bắt đầu tăng trưởng. Gọi $P(t)$ là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm $t$, trong đó t tính theo ngày $(0\le t\le 10)$. Tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn đó cho bởi hàm số $P^{\prime }(t)=k\sqrt{t}$, trong đó $k$ là hằng số. Sau một ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó đã tăng lên thành 600 vi khuẩn (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). Tính số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 9 ngày?

Tại một khu di tích vào ngày lễ hội hằng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham quan được biểu diễn bằng hàm số $Q^{\prime }(t)=4t^3-72t^2+288t$, trong đó $t$ tính bằng giờ $(0\le t\le 13)$, $Q^{\prime }(t)$ tính bằng khách/giờ (Nguồn: R.Larson and B.Eawads, Calculus 10e, Cengage). Sau 2 giờ đã có 500 người có mặt.

Một chiếc ô tô đang chạy với vận tốc $15m/s$ thì nhìn thấy chướng ngại vật trên đường cách đó $50m$, người lái xe hãm phanh khẩn cấp. Sau khi hãm phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t)=-3t+15(m/s)$, trong đó $t$ (giây). Gọi $s(t)$ là quãng đường xe ô tô đi được trong thời gian $t$ (giây) kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc hãm phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được bao nhiêu mét?

Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước. Gọi $h(t)$ là thể tích nước bơm được sau $t$ phút. Biết $h^{\prime }(t)=3a{t}^2+bt,(a;b\in \mathbb{R})$ và ban đầu bể không có nước. Sau 5 phút thì thể tích nước trong bể là $150d{m}^3$, sau 10 phút thì thể tích nước trong bể là $1100d{m}^3$. Thể tích của nước trong bể sau khi bơm được 15 phút là bao nhiêu $d{m}^3$?

Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc $v_1(t)=2t(m/s)$, trong đó thời gian $t$ tính bằng giây. Sau khi chuyển động được 12 giây thì ô tô gặp chướng ngại vật và người tài xế phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v_2(t)$ và gia tốc là $a=-8\left(m/{\mathrm{s}}^2\right)$ cho đến khi dừng hẳn.

Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc $v$ (km/h) phụ thuộc thời gian $t$ (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh $I(2;9)$ và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên dưới:



Tính gần đúng đến hàng phần chục quãng đường $s$ mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.

Một chất điểm $A$ xuất phát từ $O$, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $v(t)=\frac{1}{120}{t}^2+\frac{58}{45}t$ $(m/s)$, trong đó $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc $A$ bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm $B$ cũng xuất phát từ $O$, chuyển động thẳng cùng hướng với $A$ nhưng chậm hơn 3 giây so với $A$ và có gia tốc bằng $a\left(m/s^2\right)$ ($a$ là hằng số). Sau khi $B$ xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp $A$. Tính vận tốc của $B$ tại thời điểm đuổi kịp $A$.

Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian $v=f(t)$ (với $f(t)\ge 0\forall t$). Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm $a$ đến thời điểm $b$ là:

Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc $v_0=15m/s$ thì tăng vận tốc với gia tốc $a(t)=t^2+4t\left(m/s^2\right)$. Quãng đường chất điểm đó đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc là

Một khối bê tông cao 2 m được đặt trên mặt đất phẳng. Nếu cắt khối bê tông này bằng mặt phẳng nằm ngang, cách mặt đất $x(m)(0\le x\le 2)$ thì được mặt cắt là hình chữ nhật có chiều dài 5 m, chiều rộng $(0,5{)}^x(m)$ (Hình).



Tính thể tích của khối bê tông (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của mét khối).

Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc thời gian $t$ (s) là $a(t)=2t-7\left({\text{m/s}}^2\right)$. Biết vận tốc ban đầu bằng $10\left(\text{m/s}\right)$, hỏi trong 6 giây đầu tiên, thời điểm nào chất điểm ở xa nhất về phía bên phải?

Khi được thả từ độ cao 20 m một vật rơi với gia tốc không đổi $a=10m/{\mathrm{s}}^2$. Sau khi rơi được $t$ giây thì vật có tốc độ bao nhiêu?