Người ta muốn làm một tấm thảm hình vuông có độ dài cạnh 80 cm, đối xứng như hình vẽ. Biết phần đường cong là một phần đồ thị của hàm số $y=\frac{1}{x}$. Do kỹ thuật thêu khác nhau nên phần tô đậm có giá 3 triệu đồng/m${}^2$, phần còn lại có giá 2 triệu đồng/m${}^2$. Hỏi tấm thảm có giá bao nhiêu triệu đồng? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục toạ độ Oxy tại tâm tấm thảm, đơn vị cm. Tấm thảm là hình vuông cạnh 80 cm nên các đỉnh có toạ độ (±40; ±40). Đường cong là phần đồ thị $y=\frac{1}{x}$ (x tính bằng cm) — đồ thị này ôm sát hai trục, đúng như hình vẽ (phần trắng là dải hẹp dọc theo hai trục qua tâm).

Xét phần trắng trong góc phần tư thứ nhất: là miền nằm dưới đường cong $y=1/x$, bên trong hình vuông $[0;40{]}^2$. Đường cong cắt cạnh trên tại $x=1/40$ và cạnh phải tại $y=1/40$. Diện tích phần trắng này:
$$S_{trang}^{(1)}={\int }_0^{1/40}40dx+{\int }_{1/40}^{40}\frac{1}{x}dx=40\cdot \frac{1}{40}+\ln (40:\frac{1}{40})=1+\ln 1600\approx 1+7,3778=8,3778{\text{ cm}}^2.$$

Do đối xứng, tổng diện tích phần trắng:
$$S_{trang}=4(1+\ln 1600)\approx 33,5111{\text{ cm}}^2=0,00335111{\text{ m}}^2.$$

Diện tích phần tô đậm:
$$S_{dam}=6400-33,5111=6366,4889{\text{ cm}}^2=0,63664889{\text{ m}}^2.$$

Giá tấm thảm:
$$P=3\cdot 0,63664889+2\cdot 0,00335111\approx 1,90995+0,00670=1,91665\approx 1,92\text{ triệu đoˆˋng}.$$

Vậy tấm thảm có giá khoảng $1,92$ triệu đồng.