Trong tiết thể dục học về kĩ thuật chuyền bóng hơi, Tuấn và Minh đang tập chuyền bóng cho nhau, Tuấn ném bóng cho Minh đỡ, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang phải của Tuấn và rơi xuống vị trí $M$ cách Minh 0,5 m và cách Tuấn 3,5 m được mô tả bằng hình vẽ bên dưới.



Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ (1 đơn vị trên mỗi trục tương ứng với 1 mét). Khi đó, quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng $(\alpha ):ax-y+cz=0$ và vuông góc với mặt đất. Tính giá trị của $a+c$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Tuấn đứng tại gốc $O$, Minh đứng trên trục $Oy$, mặt đất là mặt phẳng $Oxy$. Quả bóng rơi tại $M$ lệch sang phải của Tuấn (theo phương $Ox)0,5$m so với Minh và cách Tuấn $3,5$m.

Gọi $M=(x;y;0)$. Vì $M$ lệch sang phải của Tuấn $0,5$m nên $x=0,5$. Vì $OM=3,5$ nên:
$$x^2+y^2=3,5^2\Rightarrow y=\sqrt{12,25-0,25}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.$$
Vậy $M=(0,5;2\sqrt{3};0)$ (Minh đứng tại $(0;2\sqrt{3};0)$, khoảng cách $M$ tới Minh đúng bằng $0,5$m).

Quỹ đạo nằm trong mặt phẳng $(\alpha ):ax-y+cz=0$ đi qua $O$ và vuông góc với mặt đất, đồng thời đi qua $M$. Thay tọa độ $M$:
$$a\cdot 0,5-2\sqrt{3}+c\cdot 0=0\Rightarrow a=\frac{2\sqrt{3}}{0,5}=4\sqrt{3}\approx 6,9282.$$
Mặt phẳng vuông góc mặt đất và chứa phương thẳng đứng nên $c=0$ (thực tế từ phương trình trên đã cho $c$ tự do, chuẩn hóa theo hệ số của $y$ bằng $-1$ ta được $c=0$).

Do đó $a+c=4\sqrt{3}\approx 6,93$.