Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P(t)=\frac{t+1}{t^2+t+4}$ với $t\ge 0$. Tính đạo hàm: $$P^{\prime }(t)=\frac{(t^2+t+4)-(t+1)(2t+1)}{(t^2+t+4{)}^2}=\frac{-t^2-2t+3}{(t^2+t+4{)}^2}=\frac{-(t-1)(t+3)}{(t^2+t+4{)}^2}.$$ Với $t\ge 0$: $P^{\prime }(t)>0$ khi $0\le t<1$ và $P^{\prime }(t)<0$ khi $t>1$. Vậy số lượng vi khuẩn tăng đến $t=1$ giờ rồi bắt đầu giảm từ thời điểm $t=1$ giờ. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(t)=\frac{26t+10}{t+5}$ với $t\ge 0$ (t tính từ năm 1970).
a) Đầu năm 1980: $t=10$, $f(10)=\frac{260+10}{15}=\frac{270}{15}=18$ nghìn người → đúng.
b) Đầu năm 1995: $t=25$, $f(25)=\frac{650+10}{30}=\frac{660}{30}=22$ nghìn người, không phải 23 → sai.
c) $f^{\prime }(t)=\frac{26(t+5)-(26t+10)}{(t+5{)}^2}=\frac{120}{(t+5{)}^2}>0$ với mọi $t\ge 0$ nên hàm đồng biến trên $[0;+\infty )$ → đúng.
d) Năm 1998: $t=28$, $f^{\prime }(28)=\frac{120}{33^2}=\frac{120}{1089}\approx 0,1102$ nghìn người/năm, không phải 0,125 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đầu năm 1980 tương ứng $t=10$: $f(10)=\frac{270}{15}=18$ nghìn người.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đầu năm 1995 tương ứng $t=25$: $f(25)=\frac{660}{30}=22$ nghìn người, không phải 23.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(t)=\frac{120}{(t+5{)}^2}>0$ với mọi $t\ge 0$ nên hàm số đồng biến trên $[0;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Năm 1998 tương ứng $t=28$: $f^{\prime }(28)=\frac{120}{1089}\approx 0,1102$ nghìn người/năm, không phải 0,125.

(AI giải đề cho tôi)
Xét đạo hàm từng hàm số:
(I) $y^{\prime }=x^2-2x+3=(x-1{)}^2+2>0$ với mọi $x$, nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
(II) $y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{2}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$, nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$.
(III) $y^{\prime }=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$: âm khi $x<0$, dương khi $x>0$, nên hàm số không đồng biến trên toàn bộ tập xác định $\mathbb{R}$.
(IV) $y^{\prime }=3x^2+4-\cos x\ge 3x^2+3>0$ với mọi $x$ (vì $\cos x\le 1$), nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
(V) $y^{\prime }=4x^3+2x=2x(2x^2+1)$ đổi dấu qua $x=0$, nên hàm số không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Vậy có 3 hàm số (I), (II), (IV) đồng biến trên những khoảng mà nó xác định.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $h(t)=6t^3-81t^2+324t$ với $0\le t\le 8$. Ta có $h^{\prime }(t)=18t^2-162t+324=18(t^2-9t+18)=18(t-3)(t-6)$. Với $t\in (0;3)$: $h^{\prime }(t)>0$ (tăng); với $t\in (3;6)$: $h^{\prime }(t)<0$ (giảm); với $t\in (6;8)$: $h^{\prime }(t)>0$ (tăng). Vậy độ cao giảm trên khoảng $(3;6)$, tức là trong $6-3=3$ phút.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2-2x-3}{x-2}=x-\frac{3}{x-2}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Ta có $y^{\prime }=1+\frac{3}{(x-2{)}^2}>0$ với mọi $x\ne 2$, nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$ → a đúng. Vì $y^{\prime }>0$ trên toàn bộ tập xác định nên hàm số không có cực trị → b sai. Đặt $X=x-2$, $Y=y-2$ thì $Y=X-\frac{3}{X}$ là hàm lẻ theo $X$, nên đồ thị nhận $I(2;2)$ làm tâm đối xứng → c đúng. Với tọa độ nguyên: $y=x-\frac{3}{x-2}$ nguyên khi $(x-2)$ là ước của 3, tức $x-2\in \{\pm 1,\pm 3\}$, cho $x\in \{3,1,5,-1\}$, tức 4 điểm $(3;2),(1;4),(5;4),(-1;0)$ → chỉ có 4 điểm, d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1+\frac{3}{(x-2{)}^2}>0$ với mọi $x\ne 2$ nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y^{\prime }>0$ trên toàn bộ tập xác định, hàm số không có cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y-2=(x-2)-\frac{3}{x-2}$ là biểu thức lẻ theo $x-2$, nên $I(2;2)$ là tâm đối xứng của đồ thị.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y$ nguyên khi $(x-2)\mid 3$, tức $x-2=\pm 1,\pm 3$, cho 4 điểm nguyên: $(3;2),(1;4),(5;4),(-1;0)$, không phải 5.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }$ cắt trục hoành tại $x=-2$, tiếp xúc tại $x=1$, có cực đại $(-1;4)$, cực tiểu $(1;0)$ và $f^{\prime }(0)=2$, $f^{\prime }(2)=4$. Suy ra $f^{\prime }(x)=a(x+2)(x-1{)}^2$; vì $f^{\prime }(0)=2a=2$ nên $a=1$, tức $f^{\prime }(x)=(x+2)(x-1{)}^2$.
a) Trên $(-\infty ;-1)$, $f^{\prime }(x)<0$ khi $x<-2$ nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$, khẳng định sai.
b) $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương tại $x=-2$ (cực tiểu); tại $x=1$, $f^{\prime }$ không đổi dấu (dương hai bên) nên không phải cực trị. Hàm số có đúng 1 điểm cực trị → đúng.
c) Trên $[-3;1]$: hàm nghịch biến trên $[-3;-2]$ và đồng biến trên $[-2;1]$ (vì $f^{\prime }\ge 0$ trên $[-2;1]$), nên GTNN tại $x=-2$, bằng $f(-2)$ → đúng.
d) $f^{\prime }(3)=(3+2)(3-1{)}^2=5\cdot 4=20$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f^{\prime }(x)=(x+2)(x-1{)}^2<0$ với $x<-2$, hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$, nên không đồng biến trên $(-\infty ;-1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-2$ (âm → dương) nên $x=-2$ là cực trị; tại $x=1$, $f^{\prime }$ không đổi dấu nên không phải cực trị. Hàm số có 1 điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $[-3;-2]$ và đồng biến trên $[-2;1]$ nên GTNN trên $[-3;1]$ đạt tại $x=-2$, bằng $f(-2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị suy ra $f^{\prime }(x)=(x+2)(x-1{)}^2$, nên $f^{\prime }(3)=5\cdot 4=20$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $f^{\prime }(x)$ có ba nghiệm $x=-1,2,3$ và bảng dấu: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-1)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-1;2)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(2;3)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(3;+\infty )$ (điểm $(2;-3)$ là điểm cực tiểu của $f^{\prime }$).

Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x^2+x)\cdot (2x+1)$. Xét từng khoảng:

- Trên $(-2;-1)$: $t=x^2+x$ có giá trị trong $\left[-\frac{1}{4};2\right)\subset (-1;2)$ nên $f^{\prime }(t)>0$; đồng thời $2x+1<0$. Vậy $g^{\prime }(x)<0$ trên toàn khoảng $\to g$ nghịch biến.
- Trên $(2;+\infty )$: $t>6\Rightarrow f^{\prime }(t)>0$ và $2x+1>0\Rightarrow g^{\prime }(x)>0$ (đồng biến).
- Trên $(1;2)$: $t\in (2;6)$, $f^{\prime }(t)$ đổi dấu tại $t=3$ nên $g$ không đơn điệu.
- Trên $(-\infty ;-2)$: $t>2$, $f^{\prime }(t)$ đổi dấu tại $t=3$ (tức $x=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\approx -2,3$) nên không đơn điệu.

Vậy $g(x)$ nghịch biến trên $(-2;-1)$, đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $g^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-2)$, $g^{\prime }(x)>0$ trên $(-2;0)$, $g^{\prime }(x)<0$ trên $(0;+\infty )$; $g(-2)=0$, $g(0)=1$, ${\lim }_{x\to 0^{-}}g(x)=+\infty$, ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=-\infty$, và hàm gián đoạn tại $x=0$ (cột kép).
a) Trên $(0;+\infty )$ có $g^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến → Đúng.
b) Tại $x=0$, dù $g^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nhưng ${\lim }_{x\to 0^{-}}g(x)=+\infty \ne g(0)=1$, hàm số gián đoạn tại $x=0$ nên không đạt cực đại tại đó → Sai.
c) Trên $(-2;0)$, hàm số liên tục, tăng từ $g(-2)=0$ đến $+\infty$, nên phương trình $g(x)=1$ (và $g(x)=0$ tại $x=-2$) có nghiệm; do đó đồ thị luôn cắt trục hoành tại ít nhất một điểm → Đúng.
d) Tiệm cận đứng của $y=\frac{1}{g(x)-1}$: nghiệm của $g(x)=1$. Trên $(-\infty ;-2)$ hàm giảm từ $+\infty$ về $0$ nên có một nghiệm $g(x)=1$; trên $(-2;0)$ hàm tăng từ $0$ đến $+\infty$ nên có một nghiệm; tại $x=0$ có $g(0)=1$ nên $x=0$ cũng là tiệm cận đứng. Vậy $a=3$. Tiệm cận ngang: khi $x\to 0^{-}$, $g\to +\infty$ nên $y\to 0$; khi $x\to +\infty$, $g\to -\infty$ nên $y\to 0$; khi $x\to -\infty$, $g\to +\infty$ nên $y\to 0$. Vậy $b=1$, $a^2+b^2=9+1=10$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;+\infty )$, $g^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số gián đoạn tại $x=0$ vì ${\lim }_{x\to 0^{-}}g(x)=+\infty \ne g(0)=1$, nên không đạt cực đại tại $x=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-2;0)$ hàm liên tục và tăng từ $0$ đến $+\infty$, nên $g(x)=1$ có nghiệm; đồ thị cắt trục hoành tại ít nhất một điểm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=1$ có ba nghiệm (một trên $(-\infty ;-2)$, một trên $(-2;0)$ và $x=0$) nên $a=3$; $y\to 0$ khi $x\to \pm \infty$ và $x\to 0^{-}$ nên $b=1$; $a^2+b^2=10$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=3x^2-6mx+3(3m+4)=3\left[x^2-2mx+(3m+4)\right]$. Hàm số đồng biến trên $(2;+\infty )$ khi và chỉ khi $y^{\prime }\ge 0$ trên $(2;+\infty )$, tức $g(x)=x^2-2mx+3m+4\ge 0$ với mọi $x>2$. Đặt $g(x)$ có đỉnh tại $x=m$.
- Nếu $m\ge 2$: $g$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=m$, cần $g(m)=-m^2+3m+4\ge 0\iff m^2-3m-4\le 0\iff -1\le m\le 4$, kết hợp $m\ge 2$ được $2\le m\le 4$.
- Nếu $m<2$: $g$ giảm trên $(2;+\infty )$... thực ra khi $m<2$ thì $g$ tăng trên $(2;+\infty )$, nên chỉ cần $g(2)=4-4m+3m+4=8-m>0$, luôn đúng với $m<2$.
Vậy điều kiện là $m\le 4$. Các giá trị nguyên dương: $m\in \{1,2,3,4\}$, tổng $=1+2+3+4=10$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\left(9-x^2\right)}^{\frac{1}{3}}+\ln (1-x)$.
a) ${\left(9-x^2\right)}^{1/3}$ xác định với mọi $x$ (căn bậc ba), còn $\ln (1-x)$ yêu cầu $1-x>0\iff x<1$. Vậy tập xác định là $(-\infty ;1)$ → đúng.
b) Đạo hàm: $y^{\prime }=\frac{1}{3}{\left(9-x^2\right)}^{-2/3}\cdot (-2x)-\frac{1}{1-x}=\frac{-2x}{3\sqrt[3]{{\left(9-x^2\right)}^2}}-\frac{1}{1-x}$. Đề thiếu thừa số $-2x$ ở tử số → sai.
c) Với $x\in (0;1)$: $-2x<0$ nên $\frac{-2x}{3\sqrt[3]{(9-x^2{)}^2}}<0$ và $-\frac{1}{1-x}<0$, do đó $y^{\prime }<0$ trên $(0;1)$, hàm số nghịch biến → đúng.
d) Vì hàm nghịch biến trên $(0;1)$ nên trên đoạn $\left[\frac{1}{4};\frac{1}{2}\right]$ giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=\frac{1}{2}$: $y\left(\frac{1}{2}\right)={\left(9-\frac{1}{4}\right)}^{1/3}+\ln \frac{1}{2}=\sqrt[3]{\frac{35}{4}}-\ln 2=\frac{\sqrt[3]{35}}{\sqrt[3]{4}}-\ln 2=\frac{\sqrt[3]{70}}{2}-\ln 2$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Căn bậc ba xác định với mọi $x$; $\ln (1-x)$ cần $x<1$. Vậy TXĐ là $(-\infty ;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-2x}{3\sqrt[3]{(9-x^2{)}^2}}-\frac{1}{1-x}$, thiếu thừa số $-2x$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;1)$, cả hai thành phần của $y^{\prime }$ đều âm nên $y^{\prime }<0$, hàm nghịch biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến nên min tại $x=\frac{1}{2}$: $y(\frac{1}{2})=\sqrt[3]{\frac{35}{4}}-\ln 2=\frac{1}{2}\sqrt[3]{70}-\ln 2$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $g(x)=f(x)-2x$ với $x\in (0;2)$. Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-2$. Từ đồ thị của $y=f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(0)=2$, $f^{\prime }(2)=0$ và trên khoảng $(0;2)$ đồ thị $f^{\prime }(x)$ nằm dưới đường thẳng $y=2$ (giảm từ 2 xuống 0), tức $f^{\prime }(x)<2$ với mọi $x\in (0;2)$. Vậy $g^{\prime }(x)<0$ trên $(0;2)$, suyra $g$ nghịch biến trên $(0;2)$, do đó với mọi $x\in (0;2)$: $g(x)>g(2)=f(2)-4$ (dấu nghiêm ngặt vì $x<2$ và $g$ nghịch biến). Bất phương trình $f(x)>2x+m$ đúng với mọi $x\in (0;2)$ khi và chỉ khi $f(x)-2x>m$ với mọi $x\in (0;2)$, tức $m\le {\min }_{(0;2)}g(x)$. Vì $g(x)>f(2)-4$ với mọi $x\in (0;2)$ và $g(x)\to f(2)-4$ khi $x\to 2^{-}$, điều kiện cần và đủ là $m\le f(2)-4$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
h'(t) = -2·(π/12)·sin(πt/12 + π/3) = -(π/6)sin(πt/12 + π/3). Độ sâu tăng dần khi h'(t) > 0, tức sin(πt/12 + π/3) < 0. Với 0 ≤ t ≤ 24 thì π/3 ≤ πt/12 + π/3 ≤ 2π + π/3. Sin âm khi πt/12 + π/3 ∈ (π; 2π), tức πt/12 ∈ (2π/3; 5π/3), suy ra t ∈ (8; 20). Vậy khoảng tăng dần là (a;b) = (8;20), a = 8, b = 20. Do đó 5a² - b² = 5·64 - 400 = 320 - 400 = -64.

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí tổng: C(x)=5+0,15x+0,0005x^2 (triệu đồng), 0<x≤200. a) Đề ở câu a ghi hệ số tự do là 10 thay vì 5 nên Sai. b) C(100)=5+15+5=25 triệu đồng → Đúng. c) c̄(x)=C(x)/x=0,0005x+0,15+5/x → Đúng. d) c̄'(x)=0,0005−5/x^2<0 khi x<100, nên chi phí trung bình giảm trên (0;100], tức giảm khi sản lượng không vượt quá 100 m³ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
C(x)=5+0,15x+0,0005x^2=0,0005x^2+0,15x+5, không phải +10.
b) (AI giải đề cho tôi)
C(100)=0,0005·10000+0,15·100+5=5+15+5=25 triệu đồng.
c) (AI giải đề cho tôi)
c̄(x)=C(x)/x=0,0005x+0,15+5/x với 0<x≤200.
d) (AI giải đề cho tôi)
c̄'(x)=0,0005−5/x^2<0 khi x<100, nên c̄(x) nghịch biến... thực tế nghịch biến trên (0;100], tức chi phí trung bình giảm khi sản lượng không vượt quá 100 m³.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=x^2+2(m-1)x+(2m-3)$, ${\Delta }^{\prime }=(m-1{)}^2-(2m-3)=m^2-4m+4=(m-2{)}^2\ge 0$. a) Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y^{\prime }\ge 0$ với mọi $x$, tức ${\Delta }^{\prime }\le 0\iff m=2$. Vậy khẳng định '$m\ne 2$' SAI. b) Nếu $m<0$ thì đỉnh parabol $y^{\prime }$ tại $x=1-m>1$ nằm trong $(1;+\infty )$, giá trị nhỏ nhất $-(m-2{)}^2<0$, hàm không đồng biến. Với $m\ge 0$, $y^{\prime }$ tăng dần trên $(1;+\infty )$ nên cần $y^{\prime }(1)=4m-4\ge 0\iff m\ge 1$. Vậy hàm đồng biến trên $(1;+\infty )$ khi và chỉ khi $m\ge 1$: ĐÚNG. c) Khi $m=1$: $y^{\prime }=x^2-1<0$ trên $(-1;1)$ nên hàm nghịch biến trên $(-1;1)$: ĐÚNG. d) Khi $m=1$: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$ nên hàm đồng biến (không nghịch biến) trên các khoảng đó: SAI. Kết quả khớp với đáp án nguồn (3a S, 3b Đ, 3c Đ, 3d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=x^2+2(m-1)x+(2m-3)$, ${\Delta }^{\prime }=(m-2{)}^2$. Đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi ${\Delta }^{\prime }\le 0\iff m=2$, không phải $m\ne 2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m<0$, min của $y^{\prime }$ trên $(1;+\infty )$ là $-(m-2{)}^2<0$. Với $m\ge 0$, cần $y^{\prime }(1)=4m-4\ge 0\iff m\ge 1$. Vậy điều kiện là $m\ge 1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khi $m=1$, $y^{\prime }=x^2-1<0$ với $x\in (-1;1)$ nên hàm nghịch biến trên $(-1;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khi $m=1$, $y^{\prime }=x^2-1>0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, hàm đồng biến trên các khoảng đó chứ không nghịch biến.

a) Sai. Khi $m=1$, hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-x+\frac{2}{3}$, $y^{\prime }=x^2-1=0\iff x=\pm 1$. Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-1;1)$.
b) Đúng. Khi $m=1$, hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$.
c) Sai. $y^{\prime }=x^2+2(m-1)x+2m-3$. Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\iff y^{\prime }\ge 0\forall x\in \mathbb{R}\iff (m-1{)}^2-(2m-3)\le 0\iff (m-2{)}^2\le 0\iff m=2$.
d) Đúng. Để hàm số đồng biến trên $(-1;+\infty )\iff y^{\prime }\ge 0\forall x\in (1;+\infty )\iff m\ge \frac{-x^2+2x+3}{2x+2}\forall x\in (1;+\infty )\iff m\ge \underset{(1;+\infty )}{\mathrm{Max}}g(x)$ với $g(x)=\frac{-x^2+2x+3}{2x+2}$. Sử dụng CASIO ta có $\underset{(1;+\infty )}{\mathrm{Max}}g(x)=1$. Vậy $m\ge 1$.
a) Sai. Khi $m=1$, hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-x+\frac{2}{3}$. $$y^{\prime }=x^2-1=0\iff \{\begin{array}{l}x=-1\\ x=1\end{array}$$ Bảng biến thiên



Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$. Hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$. Do đó khẳng định a) là Sai.
b) Đúng. Khi $m=1$, hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-x+\frac{2}{3}$. $$y^{\prime }=x^2-1=0\iff \{\begin{array}{l}x=-1\\ x=1\end{array}$$ Bảng biến thiên



Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$. Hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$. Do đó khẳng định b) là Đúng.
c) Sai. $y^{\prime }=x^2+2(m-1)x+2m-3$. Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\iff y^{\prime }\ge 0\forall x\in \mathbb{R}\iff x^2+2(m-1)x+2m-3\ge 0\forall x\in \mathbb{R}$ $\iff (m-1{)}^2-(2m-3)\le 0\iff (m-2{)}^2\le 0\iff m=2$.
d) Đúng. Để hàm số đồng biến trên $(-1;+\infty )\iff y^{\prime }\ge 0\forall x\in (1;+\infty )$ $\iff x^2+2(m-1)x+2m-3\ge 0\forall x\in (1;+\infty )$ $\iff m\ge \frac{-x^2+2x+3}{2x+2}$ $\forall x\in (1;+\infty )$ $\iff m\ge \underset{(1;+\infty )}{\mathrm{Max}}g(x)$ với $g(x)=\frac{-x^2+2x+3}{2x+2}$. Sử dụng CASIO ta có $\underset{(1;+\infty )}{\mathrm{Max}}g(x)=1$. Vậy $m\ge 1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $G(x)=0,03x^2(60-x)$. Xét $G^{\prime }(x)=0,03(120x-3x^2)=0,09x(40-x)$. Để huyết áp giảm dần theo liều lượng (tức $G$ đồng biến theo $x$), cần $G^{\prime }(x)>0$, suy ra $0<x<40$. Vậy khoảng liều lượng là $(a;b)=(0;40)$, do đó $b-a=40$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (40).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $H(x)=0,025x^2(30-x)$ với $x>0$. Độ giảm huyết áp giảm dần theo liều tức $H^{\prime }(x)\le 0$... xét $H^{\prime }(x)=0,025(60x-3x^2)=0,075x(20-x)$. Trên $(0;20)$ ta có $H^{\prime }(x)>0$, tức hàm $H$ đồng biến: khi liều thuốc tăng trong khoảng này, độ giảm huyết áp tăng — nghĩa là huyết áp của bệnh nhân giảm dần theo liều lượng thuốc. Vậy khoảng cần tìm là $(a;b)=(0;20)$, suy ra $b-a=20-0=20$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (20).

(AI giải đề cho tôi)
a) Với $x\in (3;+\infty )$, ta có $x^2-1>3$ và $f$ đồng biến trên $(3;+\infty )$ nên $f(x^2-1)<f(35)\iff x^2-1<35\iff x^2<36\iff -6<x<6$. Kết hợp $x>3$ và $x$ nguyên: $x\in \{4;5\}$, chỉ có 2 nghiệm (không phải 3) → Sai.
b) Theo bảng biến thiên, khi $x\to 3^{-}$ thì $f(x)\to 0$ và khi $x\to 3^{+}$ thì $f(x)\to 0$, tức ${\lim }_{x\to 3}f(x)=0$ hữu hạn, nên $x=3$ không phải tiệm cận đứng → Sai.
c) Trên $(1;3)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến trên $(1;3)$ → Đúng.
d) Trên $(-1;3)$, hàm số đồng biến trên $(-1;1)$ từ 0 lên 16 rồi nghịch biến trên $(1;3)$ từ 16 xuống 0, nên giá trị lớn nhất trên $(-1;3)$ bằng $f(1)=16$ → Đúng.
Kết quả khớp với đáp án mã đề 1001: a) S, b) S, c) Đ, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x>3$: $f(x^2-1)<f(35)\iff x^2-1<35\iff x<6$ (vì $f$ đồng biến trên $(3;+\infty )$). Nghiệm nguyên $x\in (3;6)$ là $x=4;5$: chỉ 2 nghiệm, không phải 3.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 3^{\pm }}f(x)=0$ hữu hạn theo bảng biến thiên, nên $x=3$ không phải tiệm cận đứng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(1;3)$ có $f^{\prime }(x)<0$, nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên $(-1;1)$ đạt 16 tại $x=1$ rồi nghịch biến trên $(1;3)$, nên GTLN trên $(-1;3)$ bằng 16.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, f'(x) là hàm bậc ba thỏa f'(-2)=0 (cực đại), f'(1)=0, f'(0)=-4, f'(-1)=-2. Giải hệ tìm được f'(x)=x³+3x²-4=(x+2)²(x-1)? Kiểm tra: thực tế x³+3x²-4=(x+2)(x²+x-2)... phân tích: x³+3x²-4=(x+2)(x²+x-2)=(x+2)(x-1)(x+2)=(x+2)²(x-1). Vậy f'(x)=(x+2)²(x-1)≥0 khi x≥-2... Xét dấu: f'(x)=(x+2)²(x-1), dấu chỉ đổi tại x=1 (nghiệm kép tại -2 không đổi dấu). a) Trên (-∞;-2): f'<0 nên f nghịch biến → Sai. b) f' chỉ đổi dấu tại x=1 → f có đúng 1 điểm cực trị → Sai. c) f'(2)=8+12-4=16 → Đúng. d) g'(x)=f'(x)-x+1=x³+3x²-x-3=(x+3)(x²-1)=(x+3)(x+1)(x-1). Trên (-9/2;-7/2): x+3<0, x+1<0, x-1<0 nên g'<0 → g nghịch biến → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1203: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=x³+3x²-4=(x+2)²(x-1)<0 trên (-∞;-2), nên f nghịch biến trên khoảng này, không đồng biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=(x+2)²(x-1) chỉ đổi dấu khi qua x=1 (x=-2 là nghiệm kép, không đổi dấu), nên f có duy nhất 1 điểm cực trị tại x=1.
c) (AI giải đề cho tôi)
f'(2)=2³+3·2²-4=8+12-4=16.
d) (AI giải đề cho tôi)
g'(x)=f'(x)-x+1=x³+3x²-x-3=(x+3)(x+1)(x-1). Trên (-9/2;-7/2) cả ba nhân tố đều âm nên g'(x)<0, hàm số nghịch biến.