Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3+(m-1)x^2+(2m-3)x+\frac{2}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=x^2+2(m-1)x+(2m-3)$, ${\Delta }^{\prime }=(m-1{)}^2-(2m-3)=m^2-4m+4=(m-2{)}^2\ge 0$. a) Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y^{\prime }\ge 0$ với mọi $x$, tức ${\Delta }^{\prime }\le 0\iff m=2$. Vậy khẳng định '$m\ne 2$' SAI. b) Nếu $m<0$ thì đỉnh parabol $y^{\prime }$ tại $x=1-m>1$ nằm trong $(1;+\infty )$, giá trị nhỏ nhất $-(m-2{)}^2<0$, hàm không đồng biến. Với $m\ge 0$, $y^{\prime }$ tăng dần trên $(1;+\infty )$ nên cần $y^{\prime }(1)=4m-4\ge 0\iff m\ge 1$. Vậy hàm đồng biến trên $(1;+\infty )$ khi và chỉ khi $m\ge 1$: ĐÚNG. c) Khi $m=1$: $y^{\prime }=x^2-1<0$ trên $(-1;1)$ nên hàm nghịch biến trên $(-1;1)$: ĐÚNG. d) Khi $m=1$: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$ nên hàm đồng biến (không nghịch biến) trên các khoảng đó: SAI. Kết quả khớp với đáp án nguồn (3a S, 3b Đ, 3c Đ, 3d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=x^2+2(m-1)x+(2m-3)$, ${\Delta }^{\prime }=(m-2{)}^2$. Đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi ${\Delta }^{\prime }\le 0\iff m=2$, không phải $m\ne 2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m<0$, min của $y^{\prime }$ trên $(1;+\infty )$ là $-(m-2{)}^2<0$. Với $m\ge 0$, cần $y^{\prime }(1)=4m-4\ge 0\iff m\ge 1$. Vậy điều kiện là $m\ge 1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khi $m=1$, $y^{\prime }=x^2-1<0$ với $x\in (-1;1)$ nên hàm nghịch biến trên $(-1;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khi $m=1$, $y^{\prime }=x^2-1>0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, hàm đồng biến trên các khoảng đó chứ không nghịch biến.