Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3+(m-1)x^2+(2m-3)x+\frac{2}{3}$.

a) Sai. Khi $m=1$, hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-x+\frac{2}{3}$, $y^{\prime }=x^2-1=0\iff x=\pm 1$. Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-1;1)$.
b) Đúng. Khi $m=1$, hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$.
c) Sai. $y^{\prime }=x^2+2(m-1)x+2m-3$. Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\iff y^{\prime }\ge 0\forall x\in \mathbb{R}\iff (m-1{)}^2-(2m-3)\le 0\iff (m-2{)}^2\le 0\iff m=2$.
d) Đúng. Để hàm số đồng biến trên $(-1;+\infty )\iff y^{\prime }\ge 0\forall x\in (1;+\infty )\iff m\ge \frac{-x^2+2x+3}{2x+2}\forall x\in (1;+\infty )\iff m\ge \underset{(1;+\infty )}{\mathrm{Max}}g(x)$ với $g(x)=\frac{-x^2+2x+3}{2x+2}$. Sử dụng CASIO ta có $\underset{(1;+\infty )}{\mathrm{Max}}g(x)=1$. Vậy $m\ge 1$.
a) Sai. Khi $m=1$, hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-x+\frac{2}{3}$. $$y^{\prime }=x^2-1=0\iff \{\begin{array}{l}x=-1\\ x=1\end{array}$$ Bảng biến thiên



Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$. Hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$. Do đó khẳng định a) là Sai.
b) Đúng. Khi $m=1$, hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-x+\frac{2}{3}$. $$y^{\prime }=x^2-1=0\iff \{\begin{array}{l}x=-1\\ x=1\end{array}$$ Bảng biến thiên



Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$. Hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$. Do đó khẳng định b) là Đúng.
c) Sai. $y^{\prime }=x^2+2(m-1)x+2m-3$. Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\iff y^{\prime }\ge 0\forall x\in \mathbb{R}\iff x^2+2(m-1)x+2m-3\ge 0\forall x\in \mathbb{R}$ $\iff (m-1{)}^2-(2m-3)\le 0\iff (m-2{)}^2\le 0\iff m=2$.
d) Đúng. Để hàm số đồng biến trên $(-1;+\infty )\iff y^{\prime }\ge 0\forall x\in (1;+\infty )$ $\iff x^2+2(m-1)x+2m-3\ge 0\forall x\in (1;+\infty )$ $\iff m\ge \frac{-x^2+2x+3}{2x+2}$ $\forall x\in (1;+\infty )$ $\iff m\ge \underset{(1;+\infty )}{\mathrm{Max}}g(x)$ với $g(x)=\frac{-x^2+2x+3}{2x+2}$. Sử dụng CASIO ta có $\underset{(1;+\infty )}{\mathrm{Max}}g(x)=1$. Vậy $m\ge 1$.