Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và hàm số $y=f^{\prime }(x)$ là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, f'(x) là hàm bậc ba thỏa f'(-2)=0 (cực đại), f'(1)=0, f'(0)=-4, f'(-1)=-2. Giải hệ tìm được f'(x)=x³+3x²-4=(x+2)²(x-1)? Kiểm tra: thực tế x³+3x²-4=(x+2)(x²+x-2)... phân tích: x³+3x²-4=(x+2)(x²+x-2)=(x+2)(x-1)(x+2)=(x+2)²(x-1). Vậy f'(x)=(x+2)²(x-1)≥0 khi x≥-2... Xét dấu: f'(x)=(x+2)²(x-1), dấu chỉ đổi tại x=1 (nghiệm kép tại -2 không đổi dấu). a) Trên (-∞;-2): f'<0 nên f nghịch biến → Sai. b) f' chỉ đổi dấu tại x=1 → f có đúng 1 điểm cực trị → Sai. c) f'(2)=8+12-4=16 → Đúng. d) g'(x)=f'(x)-x+1=x³+3x²-x-3=(x+3)(x²-1)=(x+3)(x+1)(x-1). Trên (-9/2;-7/2): x+3<0, x+1<0, x-1<0 nên g'<0 → g nghịch biến → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1203: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=x³+3x²-4=(x+2)²(x-1)<0 trên (-∞;-2), nên f nghịch biến trên khoảng này, không đồng biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=(x+2)²(x-1) chỉ đổi dấu khi qua x=1 (x=-2 là nghiệm kép, không đổi dấu), nên f có duy nhất 1 điểm cực trị tại x=1.
c) (AI giải đề cho tôi)
f'(2)=2³+3·2²-4=8+12-4=16.
d) (AI giải đề cho tôi)
g'(x)=f'(x)-x+1=x³+3x²-x-3=(x+3)(x+1)(x-1). Trên (-9/2;-7/2) cả ba nhân tố đều âm nên g'(x)<0, hàm số nghịch biến.