Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=-3x^2+6x=-3x(x-2)$. Hàm số đồng biến khi $y^{\prime }>0$, tức $-3x(x-2)>0\iff x(x-2)<0\iff 0<x<2$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét đạo hàm từng hàm số:
(I) $y^{\prime }=x^2-2x+3=(x-1{)}^2+2>0$ với mọi $x$, nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
(II) $y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x+1{)}^2}=\frac{2}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$, nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$.
(III) $y^{\prime }=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$: âm khi $x<0$, dương khi $x>0$, nên hàm số không đồng biến trên toàn bộ tập xác định $\mathbb{R}$.
(IV) $y^{\prime }=3x^2+4-\cos x\ge 3x^2+3>0$ với mọi $x$ (vì $\cos x\le 1$), nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
(V) $y^{\prime }=4x^3+2x=2x(2x^2+1)$ đổi dấu qua $x=0$, nên hàm số không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Vậy có 3 hàm số (I), (II), (IV) đồng biến trên những khoảng mà nó xác định.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{5-2x}{x+3}$ xác định khi $x\ne -3$. Ta có $y^{\prime }=\frac{-2(x+3)-(5-2x)}{(x+3{)}^2}=\frac{-11}{(x+3{)}^2}<0$ với mọi $x\ne -3$. Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;-3)$ và $(-3;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(-\infty ;-3)$ được liệt kê, nên chọn C. Đáp án A sai vì hàm không nghịch biến trên toàn tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-3\}$ (không liên tục tại $x=-3$).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x-2)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$. Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, không nghịch biến trên khoảng nào. Do đó mệnh đề đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x+2)(x+1)-(x^2+2x-3)}{(x+1{)}^2}=\frac{(x+1{)}^2-(x^2+2x-3)}{(x+1{)}^2}=\frac{4}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$. Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, do đó đồng biến trên mọi khoảng con như $(2;4)$. Xét các đáp án: A đúng vì $y^{\prime }>0$ trên $(2;4)$; B sai vì hàm không nghịch biến; C sai vì hàm đồng biến (không nghịch biến) trên hai khoảng đó; D sai vì hàm đồng biến trên cả $(-1;+\infty )$. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $f^{\prime }(x)=x^2+1\ge 1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc ba có điểm cực đại tại $x=0$ và điểm cực tiểu tại $x=2$ (hoành độ 2 được đánh dấu trên trục hoành, giá trị cực tiểu $-4$ trên trục tung). Hàm số nghịch biến trên khoảng giữa hai điểm cực trị, tức là trên $(0;2)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-3)$ và $(4;+\infty )$, nên hàm số nghịch biến trên các khoảng đó. Trong các đáp án, chỉ có $(4;+\infty )$ là khoảng nghịch biến. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(0;1)$ thỏa mãn (đồng biến). Các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$ là nghịch biến, còn $(-\infty ;1)$ không đồng biến trên toàn khoảng vì hàm nghịch biến trên $(-1;0)$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc bốn: hàm đạt cực tiểu tại $x=-1$ (giá trị $0$), cực đại tại $x=0$ (giá trị $2$), cực tiểu tại $x=1$ (giá trị $-3$). Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Trong các phương án, chỉ có khoảng $(-1;0)$ (phương án C) thỏa mãn. Kiểm tra các phương án khác: trên $(-\infty ;-3)$ hàm nghịch biến; trên $(0;2)$ hàm nghịch biến trên $(0;1)$ nên không đồng biến trên cả khoảng; trên $(-1;2)$ hàm nghịch biến trên $(0;1)$ nên không đồng biến trên cả khoảng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$, có $y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x-2)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$. Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$. Do đó mệnh đề đúng là D: hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;-1)$. Các phương án A, B, C sai vì hàm không nghịch biến trên các khoảng đó.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $f^{\prime }(x)=4>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên hàm số $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó với $-3<-2$ ta có $f(-3)<f(-2)$. Các khẳng định khác đều sai vì hàm đồng biến: $f(3)>f(-2)$, $f(2)>f(0)$, $f(2)<f(3)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm bậc ba có cực tiểu tại $x=0$ (giá trị $-4$) và cực đại tại $x=2$. Do đó $f^{\prime }(x)>0$ trên $(0;2)$, tức $f$ đồng biến trên $(0;2)$. Phép tịnh tiến theo phương thẳng đứng $y=f(x)+2025$ không làm thay đổi khoảng đồng biến. Vậy hàm số đồng biến trên $(0;1)\subset (0;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-2)$, $y^{\prime }<0$ trên $(-2;0)$ và $(0;2)$, $y^{\prime }>0$ trên $(2;+\infty )$ (tại $x=0$ hàm số không xác định, ký hiệu $\Vert$). Do đó: A sai vì hàm đồng biến trên $(-\infty ;-2)$; B sai vì hàm nghịch biến trên $(-2;0)$; C sai vì trên $(-\infty ;0)$ hàm không đồng biến toàn bộ; D đúng vì $y^{\prime }<0$ trên $(0;2)$ nên hàm nghịch biến trên khoảng này.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;0)$, nghịch biến trên $(0;1)$, đồng biến trên $(1;+\infty )$; đạt cực đại tại $x=0$ (giá trị $3$), đạt cực tiểu tại $x=1$ (giá trị $2$). Đồ thị chỉ cắt trục hoành tại một điểm (khoảng $x\approx -1$) nên phương trình $f(x)=0$ có đúng một nghiệm.
a) Đúng: trên $(0;1)$ đồ thị đi xuống nên $f$ nghịch biến.
b) Sai: cực tiểu tại $x=1$, còn $x=0$ là điểm cực đại.
c) Đúng: trên $(-\infty ;0)$ đồ thị đi lên nên $f$ đồng biến.
d) Sai: đồ thị chỉ cắt trục $Ox$ tại một điểm nên $f(x)=0$ có một nghiệm duy nhất.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;1)$ đồ thị đi xuống từ điểm cực đại $(0;3)$ đến điểm cực tiểu $(1;2)$ nên hàm nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Điểm cực tiểu là $(1;2)$, còn $x=0$ là điểm cực đại (giá trị $3$).
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;0)$ đồ thị đi lên nên hàm đồng biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị chỉ cắt trục hoành tại một điểm nên $f(x)=0$ có một nghiệm duy nhất, không phải hai nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=x^3-2x^2+3$, xác định trên $\mathbb{R}$. Ta có $y^{\prime }=3x^2-4x=x(3x-4)$. $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=\frac{4}{3}$. Xét dấu $y^{\prime }$: với $x<0$, $y^{\prime }>0$ nên hàm đồng biến trên $(-\infty ;0)$; với $0<x<\frac{4}{3}$, $y^{\prime }<0$ nên hàm nghịch biến trên $\left(0;\frac{4}{3}\right)$; với $x>\frac{4}{3}$, $y^{\prime }>0$ nên hàm đồng biến trên $\left(\frac{4}{3};+\infty \right)$. Kết luận: hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;0)$ và $\left(\frac{4}{3};+\infty \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left(0;\frac{4}{3}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)<0$ trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$, nên hàm số nghịch biến trên $(0;1)$. Các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$ hàm đồng biến ($f^{\prime }>0$), còn $(0;+\infty )$ không phải khoảng nghịch biến vì chứa $(1;+\infty )$ nơi $f^{\prime }>0$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại $x=-2$, $x=0$, $x=2$. Từ hình: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-2)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-2;0)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;2)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(2;+\infty )$. Do đó $f(x)$ nghịch biến trên $(0;2)$ (và đồng biến trên $(-2;0)$, $(2;+\infty )$). Xét các phương án: A sai vì trên $(-1;0)$ có $f^{\prime }>0$; B sai vì trên $(1;2)$ có $f^{\prime }<0$ (nghịch biến); C sai vì $f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=0$ thuộc $(-2;1)$; D đúng vì $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại $x=-1$ và $x=2$, với $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<-1$ hoặc $x>2$, và $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-1;2)$. Do đó $f(x)$ đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(2;+\infty )$, nghịch biến trên $(-1;2)$. Kiểm tra các phương án: A sai vì trên $(-4;2)$ $f^{\prime }$ đổi dấu; B đúng; C sai vì trên $(0;2)$ có $f^{\prime }<0$; D sai vì trên $(-\infty ;-4)$ hàm đồng biến (không phải nghịch biến) và khoảng $(2;+\infty )$ hàm đồng biến.