Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị của $f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại $x=-3$ và tiếp xúc trục hoành tại $x=0$ (nên $f^{\prime }(0)=0$ nhưng $f^{\prime }$ không đổi dấu qua $x=0$). Từ hình: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-3)$; $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-3;0)$ và $(0;+\infty )$. Do đó $f(x)$ nghịch biến trên $(-\infty ;-3)$ và đồng biến trên $(-3;+\infty )$. Kiểm tra các phương án: A sai vì trên $(-\infty ;-2)$ có đoạn $(-\infty ;-3)$ với $f^{\prime }<0$; B sai vì trên $(-2;0)$ có $f^{\prime }>0$ (đồng biến); D sai vì trên $(-3;0)$ hàm đồng biến. Vậy mệnh đề đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$, nên hàm số đồng biến trên $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có $(-1;0)$ là khoảng đồng biến. Kiểm tra: A $(-1;+\infty )$ sai vì trên $(0;1)$ hàm nghịch biến; B $(-1;4)$ sai vì $4$ là giá trị hàm số chứ không phải điểm trong tập xác định; C $(0;1)$ là khoảng nghịch biến vì $f^{\prime }(x)<0$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là đường cong hình chữ W với hai điểm cực tiểu tại $x=-1$ và $x=1$ (giá trị $-2$) và một điểm cực đại tại $x=0$ (giá trị $-1$). Hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$, đồng biến trên $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Trong các khoảng đã cho, chỉ có $(-1;0)$ là khoảng đồng biến, nên đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)<0$ trên các khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$, nên hàm số nghịch biến trên $(0;1)$. Kiểm tra các phương án: A $(-1;0)$: $f^{\prime }>0$ đồng biến; B $(-\infty ;0)$: không nghịch biến trên toàn khoảng vì trên $(-1;0)$ hàm đồng biến; C $(1;+\infty )$: $f^{\prime }>0$ đồng biến; D $(0;1)$: $f^{\prime }<0$ nghịch biến. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $f^{\prime }(x)$ (trang 5) là đường cong bậc ba cắt trục hoành tại $x=-2$, $x=0$ và $x=2$. Từ hình: $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-2;0)$ nên $f$ đồng biến trên $(-2;0)$; $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;2)$ nên $f$ nghịch biến trên $(0;2)$. Xét các phương án: A sai vì trên $(-1;0)$ có $f^{\prime }(x)>0$ (f đồng biến); B sai vì trên $(1;2)$ có $f^{\prime }(x)<0$ (f nghịch biến); C sai vì trên $(0;1)$ có $f^{\prime }(x)<0$; D đúng vì $f^{\prime }(x)<0$ với mọi $x\in (0;2)$. Vậy hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(0;2)$, khớp với đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị của $f^{\prime }(x)$: đồ thị cắt trục hoành tại $x=-1$ và tiếp xúc trục hoành tại $x=2$ (điểm cực đại của $f^{\prime }$ với $f^{\prime }(2)=0$), đồng thời $f^{\prime }(0)=-4<0$. Do đó $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-1)$; $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-1;2)$ và trên $(2;+\infty )$ (tại $x=2$ đồ thị $f^{\prime }$ chỉ chạm trục hoành rồi đi xuống, không đổi dấu). Vậy $f$ đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và nghịch biến trên $(-1;+\infty )$. A sai vì trên $(-4;2)$ có đoạn $f^{\prime }<0$; C sai vì trên $(0;2)$ có $f^{\prime }<0$; D sai vì $f$ nghịch biến trên $(-1;2)$ chứ không phải trên $(-\infty ;-4)$ và $(2;+\infty )$. Đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại $x=-3$, đạt cực đại tại $(-2;4)$, tiếp xúc trục hoành tại $O$ rồi đi lên. Do đó $f^{\prime }(x)<0$ khi $x<-3$ và $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-3;0)$ và $(0;+\infty )$. Vậy $f$ nghịch biến trên $(-\infty ;-3)$ và đồng biến trên $(-3;+\infty )$ (kể cả qua $x=0$ vì $f^{\prime }(0)=0$ nhưng không đổi dấu).
- A sai: trên $(-\infty ;-3)$ hàm nghịch biến.
- B sai: trên $(-2;0)$ có $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm đồng biến.
- C đúng: $f^{\prime }(x)\ge 0$ trên $(-3;+\infty )$, hàm đồng biến trên khoảng này.
- D sai: trên $(-3;0)$ hàm đồng biến.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=x^3-2x^2+x+1$, ta có $y^{\prime }=3x^2-4x+1=(3x-1)(x-1)$. Xét dấu: $y^{\prime }>0$ khi $x<\frac{1}{3}$ hoặc $x>1$; $y^{\prime }<0$ khi $\frac{1}{3}<x<1$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{1}{3};1\right)$ và đồng biến trên $\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right)$ và $(1;+\infty )$. Do đó mệnh đề đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $h(t)=6t^3-81t^2+324t$ với $0\le t\le 8$. Ta có $h^{\prime }(t)=18t^2-162t+324=18(t^2-9t+18)=18(t-3)(t-6)$. Với $t\in (0;3)$: $h^{\prime }(t)>0$ (tăng); với $t\in (3;6)$: $h^{\prime }(t)<0$ (giảm); với $t\in (6;8)$: $h^{\prime }(t)>0$ (tăng). Vậy độ cao giảm trên khoảng $(3;6)$, tức là trong $6-3=3$ phút.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=2x^4+1$ có đạo hàm $y^{\prime }=8x^3$. Ta có $y^{\prime }>0$ khi $x>0$ và $y^{\prime }<0$ khi $x<0$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0;+\infty )$, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{5-2x}{x+3}$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-3\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{-2(x+3)-(5-2x)}{(x+3{)}^2}=\frac{-11}{(x+3{)}^2}<0$ với mọi $x\ne -3$. Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;-3)$ và $(-3;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có đáp án C là khoảng nghịch biến đúng (hàm không nghịch biến trên toàn bộ $\mathbb{R}\setminus \{-3\}$ vì không liên tục tại $x=-3$).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)<0$ trên các khoảng $(-\infty ;-3)$ và $(-1;1)$; $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-3;-1)$ và $(1;+\infty )$. Do đó hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-3)$ (và $(-1;1)$). Trong các phương án, chỉ có D là khoảng nghịch biến. Kiểm tra: A $(1;+\infty )$ là khoảng đồng biến; B $(-\infty ;1)$ chứa $(-3;-1)$ nên không phải; C $(-1;+\infty )$ chứa $(1;+\infty )$ nên không phải. Vậy chọn D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số:
- A: $y=\frac{x+1}{x+3}$ có $y^{\prime }=\frac{(x+3)-(x+1)}{(x+3{)}^2}=\frac{2}{(x+3{)}^2}>0$ nhưng hàm không xác định tại $x=-3$, nên không đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$.
- B: $y=x^3+3x+4$ có $y^{\prime }=3x^2+3=3(x^2+1)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên hàm số đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$.
- C: $y=x^3-3x$ có $y^{\prime }=3x^2-3$, đổi dấu tại $x=\pm 1$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
- D: $y=\frac{x-1}{x+2}$ có $y^{\prime }=\frac{3}{(x+2{)}^2}>0$ nhưng không xác định tại $x=-2$.
Vậy hàm đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$ là $y=x^3+3x+4$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;0)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(0;2)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(2;+\infty )$. Xét từng mệnh đề: A sai vì hàm nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$, không nghịch biến trên hợp của hai khoảng này (giữa chúng hàm đồng biến). B sai vì trên $(-1;1)$ có điểm $x=0$ với $f^{\prime }(0)=0$ và $f^{\prime }$ đổi dấu, nên hàm không đồng biến trên toàn khoảng. C đúng vì $f^{\prime }(x)<0$ với mọi $x\in (-\infty ;0)$, vậy hàm nghịch biến trên $(-\infty ;0)$. D sai vì trên $(1;3)$ có điểm $x=2$ với $f^{\prime }(2)=0$ và $f^{\prime }$ đổi dấu, nên hàm không đồng biến trên toàn khoảng.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm trùng phương dạng W: đạt cực tiểu tại $x=\pm 1$, cực đại tại $x=0$ (giá trị $-3$). Hàm nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(0;1)$. Trong các khoảng đã cho, chỉ có $(-2;-1)\subset (-\infty ;-1)$ nên hàm nghịch biến trên khoảng này. Các khoảng $(0;2)$, $(-2;0)$, $(1;2)$ đều chứa điểm cực trị nên hàm không nghịch biến trên đó.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở trang 7, hàm số có điểm cực tiểu tại $x=-1$ (giá trị $-4$) và điểm cực đại tại $x=1$. Trên khoảng $(-1;1)$ đồ thị đi lên từ thấp đến cao nên $f^{\prime }(x)>0$, hàm số đồng biến. Trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$ hàm số nghịch biến; khoảng $(-2;1)$ chứa điểm cực tiểu $x=-1$ nên hàm không đồng biến trên cả khoảng này. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;1)$, đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: f'(x)>0 trên (−∞;−4) và (0;+∞), f'(x)<0 trên (−4;−2) và (−2;0). Hàm số đạt cực đại tại x=−4 với y=−6, đạt cực tiểu tại x=0 với y=2; trên hai nhánh hàm số tiến tới ±∞ nên không có GTLN, GTNN. a) Đúng: f đồng biến trên (−∞;−4) và (0;+∞). b) Sai: tại x=−4 hàm đạt cực đại (y_CĐ=−6), không phải cực tiểu; cực tiểu là y_CT=2 tại x=0. c) Sai: vì f(x)→−∞ khi x→−2⁻ và f(x)→+∞ khi x→±∞ nên hàm không có GTLN và GTNN trên tập xác định. d) Với y=(x²+2x+4)/(x+2): y'=[(2x+2)(x+2)−(x²+2x+4)]/(x+2)²=(x²+4x)/(x+2)²=x(x+4)/(x+2)²; y'=0 tại x=−4, x=0; y'>0 trên (−∞;−4)∪(0;+∞), y'<0 trên (−4;−2)∪(−2;0); f(−4)=(16−8+4)/(−2)=−6, f(0)=4/2=2 — khớp hoàn toàn bảng biến thiên. Vậy d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo bảng biến thiên, f'(x)>0 trên (−∞;−4) và (0;+∞) nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng này.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại x=−4 hàm số đi từ tăng sang giảm nên đạt cực đại với y_CĐ=−6. Cực tiểu của hàm là y_CT=2 tại x=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng (−∞;−2) hàm số đạt cực đại −6 nhưng tiến tới −∞ khi x→−2⁻; trên (−2;+∞) hàm tiến tới +∞ khi x→±∞. Do đó hàm không có GTLN bằng 2 và GTNN bằng −6 (2 chỉ là cực tiểu, −6 chỉ là cực đại).
d) (AI giải đề cho tôi)
Với y=(x²+2x+4)/(x+2) ta có y'=x(x+4)/(x+2)², đồng biến trên (−∞;−4) và (0;+∞), nghịch biến trên (−4;−2) và (−2;0); f(−4)=−6 (cực đại), f(0)=2 (cực tiểu) — hoàn toàn khớp bảng biến thiên.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại $y=\frac{x^2-2x-3}{x-2}=x-\frac{3}{x-2}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Ta có $y^{\prime }=1+\frac{3}{(x-2{)}^2}>0$ với mọi $x\ne 2$, nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$ → a đúng. Vì $y^{\prime }>0$ trên toàn bộ tập xác định nên hàm số không có cực trị → b sai. Đặt $X=x-2$, $Y=y-2$ thì $Y=X-\frac{3}{X}$ là hàm lẻ theo $X$, nên đồ thị nhận $I(2;2)$ làm tâm đối xứng → c đúng. Với tọa độ nguyên: $y=x-\frac{3}{x-2}$ nguyên khi $(x-2)$ là ước của 3, tức $x-2\in \{\pm 1,\pm 3\}$, cho $x\in \{3,1,5,-1\}$, tức 4 điểm $(3;2),(1;4),(5;4),(-1;0)$ → chỉ có 4 điểm, d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=1+\frac{3}{(x-2{)}^2}>0$ với mọi $x\ne 2$ nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y^{\prime }>0$ trên toàn bộ tập xác định, hàm số không có cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y-2=(x-2)-\frac{3}{x-2}$ là biểu thức lẻ theo $x-2$, nên $I(2;2)$ là tâm đối xứng của đồ thị.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y$ nguyên khi $(x-2)\mid 3$, tức $x-2=\pm 1,\pm 3$, cho 4 điểm nguyên: $(3;2),(1;4),(5;4),(-1;0)$, không phải 5.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=6x^2-18x-24=6(x^2-3x-4)=6(x-4)(x+1)$. $y^{\prime }<0$ khi $-1<x<4$, nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;4)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(-1;0)$ thỏa mãn, nên hàm số đồng biến trên $(-1;0)$.