Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }$ cắt trục hoành tại $x=-2$, tiếp xúc tại $x=1$, có cực đại $(-1;4)$, cực tiểu $(1;0)$ và $f^{\prime }(0)=2$, $f^{\prime }(2)=4$. Suy ra $f^{\prime }(x)=a(x+2)(x-1{)}^2$; vì $f^{\prime }(0)=2a=2$ nên $a=1$, tức $f^{\prime }(x)=(x+2)(x-1{)}^2$.
a) Trên $(-\infty ;-1)$, $f^{\prime }(x)<0$ khi $x<-2$ nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$, khẳng định sai.
b) $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương tại $x=-2$ (cực tiểu); tại $x=1$, $f^{\prime }$ không đổi dấu (dương hai bên) nên không phải cực trị. Hàm số có đúng 1 điểm cực trị → đúng.
c) Trên $[-3;1]$: hàm nghịch biến trên $[-3;-2]$ và đồng biến trên $[-2;1]$ (vì $f^{\prime }\ge 0$ trên $[-2;1]$), nên GTNN tại $x=-2$, bằng $f(-2)$ → đúng.
d) $f^{\prime }(3)=(3+2)(3-1{)}^2=5\cdot 4=20$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $f^{\prime }(x)=(x+2)(x-1{)}^2<0$ với $x<-2$, hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$, nên không đồng biến trên $(-\infty ;-1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-2$ (âm → dương) nên $x=-2$ là cực trị; tại $x=1$, $f^{\prime }$ không đổi dấu nên không phải cực trị. Hàm số có 1 điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $[-3;-2]$ và đồng biến trên $[-2;1]$ nên GTNN trên $[-3;1]$ đạt tại $x=-2$, bằng $f(-2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị suy ra $f^{\prime }(x)=(x+2)(x-1{)}^2$, nên $f^{\prime }(3)=5\cdot 4=20$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $f^{\prime }(x)$ có ba nghiệm $x=-1,2,3$ và bảng dấu: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-1)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-1;2)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(2;3)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(3;+\infty )$ (điểm $(2;-3)$ là điểm cực tiểu của $f^{\prime }$).

Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x^2+x)\cdot (2x+1)$. Xét từng khoảng:

- Trên $(-2;-1)$: $t=x^2+x$ có giá trị trong $\left[-\frac{1}{4};2\right)\subset (-1;2)$ nên $f^{\prime }(t)>0$; đồng thời $2x+1<0$. Vậy $g^{\prime }(x)<0$ trên toàn khoảng $\to g$ nghịch biến.
- Trên $(2;+\infty )$: $t>6\Rightarrow f^{\prime }(t)>0$ và $2x+1>0\Rightarrow g^{\prime }(x)>0$ (đồng biến).
- Trên $(1;2)$: $t\in (2;6)$, $f^{\prime }(t)$ đổi dấu tại $t=3$ nên $g$ không đơn điệu.
- Trên $(-\infty ;-2)$: $t>2$, $f^{\prime }(t)$ đổi dấu tại $t=3$ (tức $x=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\approx -2,3$) nên không đơn điệu.

Vậy $g(x)$ nghịch biến trên $(-2;-1)$, đáp án B.

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 1202 (trang 9), Phần II Câu 3: SDDD, tức a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng. Mệnh đề d đúng vì trên $(-1;1)$ hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng $f(0)=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=x^4-2x^2-3$, $y^{\prime }=4x^3-4x=4x(x^2-1)$ đổi dấu trên $\mathbb{R}$ nên không nghịch biến trên $\mathbb{R}$. B) $y=-x^3-3x+4$, $y^{\prime }=-3x^2-3<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. C) $y=x^3+3x^2+7x+5$, $y^{\prime }=3x^2+6x+7$ có $\Delta =36-84<0$ nên $y^{\prime }>0$ với mọi $x$, hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$. D) $y=\frac{3x-1}{x-2}$, $y^{\prime }=\frac{3(x-2)-(3x-1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-5}{(x-2{)}^2}<0$ nhưng hàm không xác định tại $x=2$ nên chỉ nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$, không nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1202, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên khoảng $(-1;2)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;2)$. Trên $(-\infty ;-1)$ và $(2;+\infty )$ hàm số nghịch biến vì $f^{\prime }(x)<0$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Mã đề 1202, Câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Cho $f(x)=x^4-2x^2+2$, ta có $f^{\prime }(x)=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$. a) Với $x<-1$, $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$, mệnh đề Sai. b) $f^{\prime }(0)=0$ và $f^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x=0$ nên hàm đạt cực đại tại $x=0$, Đúng. c) Trên $(0;1)$, $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến, Đúng. d) Trên $(-1;1)$, hàm đồng biến trên $(-1;0)$, nghịch biến trên $(0;1)$, đạt giá trị lớn nhất tại $x=0$ với $f(0)=2$, Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1201: SDDD.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=4x(x-1)(x+1)<0$ khi $x<-1$, nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$, không đồng biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(0)=0$ và $f^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x=0$, nên hàm đạt cực đại tại $x=0$ (cực đại $f(0)=2$).
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in (0;1)$, $f^{\prime }(x)=4x(x-1)(x+1)<0$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-1;1)$, hàm đồng biến trên $(-1;0)$ và nghịch biến trên $(0;1)$, nên GTLN đạt tại $x=0$: $f(0)=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-1)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-1;2)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(2;+\infty )$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;2)$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Câu 2, mã đề 1201: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=\frac{3x-1}{x-2}$ có $y^{\prime }=\frac{3(x-2)-(3x-1)}{(x-2{)}^2}=\frac{-5}{(x-2{)}^2}<0$ nhưng hàm số không xác định tại $x=2$, nên không nghịch biến trên toàn $\mathbb{R}$. B) $y=-x^3-3x+4$ có $y^{\prime }=-3x^2-3=-3(x^2+1)<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. C) $y=x^3+3x^2+7x+5$ có $y^{\prime }=3x^2+6x+7$ với $\Delta =36-84<0$ nên $y^{\prime }>0$, hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$. D) $y=x^4-2x^2-3$ có $y^{\prime }=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1)$ đổi dấu, không nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 1201: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $y^{\prime }=f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;2)$ và trên $(2;+\infty )$, hàm số giảm từ 1 xuống $-\infty$ trên $(-\infty ;2)$ và giảm từ $+\infty$ xuống 1 trên $(2;+\infty )$; tại $x=2$ hàm số không xác định (tiệm cận đứng). Do đó hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$. Xét các đáp án: A $(1;3)$ chứa $x=2$ nên sai; B $(-\infty ;2)$ đúng; C $(-\infty ;+\infty )$ sai vì hàm không liên tục tại $x=2$; D $(1;+\infty )$ chứa $x=2$ nên sai. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(3;+\infty )$, nên hàm số đồng biến trên $(3;+\infty )$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $g^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-2)$, $g^{\prime }(x)>0$ trên $(-2;0)$, $g^{\prime }(x)<0$ trên $(0;+\infty )$; $g(-2)=0$, $g(0)=1$, ${\lim }_{x\to 0^{-}}g(x)=+\infty$, ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=-\infty$, và hàm gián đoạn tại $x=0$ (cột kép).
a) Trên $(0;+\infty )$ có $g^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến → Đúng.
b) Tại $x=0$, dù $g^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nhưng ${\lim }_{x\to 0^{-}}g(x)=+\infty \ne g(0)=1$, hàm số gián đoạn tại $x=0$ nên không đạt cực đại tại đó → Sai.
c) Trên $(-2;0)$, hàm số liên tục, tăng từ $g(-2)=0$ đến $+\infty$, nên phương trình $g(x)=1$ (và $g(x)=0$ tại $x=-2$) có nghiệm; do đó đồ thị luôn cắt trục hoành tại ít nhất một điểm → Đúng.
d) Tiệm cận đứng của $y=\frac{1}{g(x)-1}$: nghiệm của $g(x)=1$. Trên $(-\infty ;-2)$ hàm giảm từ $+\infty$ về $0$ nên có một nghiệm $g(x)=1$; trên $(-2;0)$ hàm tăng từ $0$ đến $+\infty$ nên có một nghiệm; tại $x=0$ có $g(0)=1$ nên $x=0$ cũng là tiệm cận đứng. Vậy $a=3$. Tiệm cận ngang: khi $x\to 0^{-}$, $g\to +\infty$ nên $y\to 0$; khi $x\to +\infty$, $g\to -\infty$ nên $y\to 0$; khi $x\to -\infty$, $g\to +\infty$ nên $y\to 0$. Vậy $b=1$, $a^2+b^2=9+1=10$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;+\infty )$, $g^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số gián đoạn tại $x=0$ vì ${\lim }_{x\to 0^{-}}g(x)=+\infty \ne g(0)=1$, nên không đạt cực đại tại $x=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-2;0)$ hàm liên tục và tăng từ $0$ đến $+\infty$, nên $g(x)=1$ có nghiệm; đồ thị cắt trục hoành tại ít nhất một điểm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=1$ có ba nghiệm (một trên $(-\infty ;-2)$, một trên $(-2;0)$ và $x=0$) nên $a=3$; $y\to 0$ khi $x\to \pm \infty$ và $x\to 0^{-}$ nên $b=1$; $a^2+b^2=10$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=3x^2-6mx+3(3m+4)=3\left[x^2-2mx+(3m+4)\right]$. Hàm số đồng biến trên $(2;+\infty )$ khi và chỉ khi $y^{\prime }\ge 0$ trên $(2;+\infty )$, tức $g(x)=x^2-2mx+3m+4\ge 0$ với mọi $x>2$. Đặt $g(x)$ có đỉnh tại $x=m$.
- Nếu $m\ge 2$: $g$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x=m$, cần $g(m)=-m^2+3m+4\ge 0\iff m^2-3m-4\le 0\iff -1\le m\le 4$, kết hợp $m\ge 2$ được $2\le m\le 4$.
- Nếu $m<2$: $g$ giảm trên $(2;+\infty )$... thực ra khi $m<2$ thì $g$ tăng trên $(2;+\infty )$, nên chỉ cần $g(2)=4-4m+3m+4=8-m>0$, luôn đúng với $m<2$.
Vậy điều kiện là $m\le 4$. Các giá trị nguyên dương: $m\in \{1,2,3,4\}$, tổng $=1+2+3+4=10$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=-x^3-2x-3$ có $y^{\prime }=-3x^2-2<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. B) $y=\frac{x+4}{x-1}$ có $y^{\prime }=\frac{-5}{(x-1{)}^2}<0$ nhưng hàm không xác định tại $x=1$, nên chỉ nghịch biến trên các khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, không nghịch biến trên $\mathbb{R}$. C) $y=-x^3-3x^2+3$ có $y^{\prime }=-3x^2-6x=-3x(x+2)$ đổi dấu nên không nghịch biến trên $\mathbb{R}$. D) $y=-x^4-2x^2+3$ có $y^{\prime }=-4x^3-4x=-4x(x^2+1)$ đổi dấu tại $x=0$ nên không nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số bậc ba có cực đại tại $x=-1$ (giá trị $y=3$) và cực tiểu tại $x=1$ (giá trị $y=-1$). Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên khoảng giữa hai điểm cực trị, tức là trên $(-1;1)$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^4-8x^2+2025$ có đạo hàm $y^{\prime }=4x^3-16x=4x(x-2)(x+2)$. Xét dấu: $y^{\prime }>0$ trên $(-2;0)$ và $(2;+\infty )$; $y^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;-2)$ và $(0;2)$. Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-2;0)$ và $(2;+\infty )$. Trong các phương án, chỉ có khoảng $(-2;0)$ (phương án C) thỏa mãn. Lưu ý: trên $(0;+\infty )$ hàm số nghịch biến trên $(0;2)$ nên không đồng biến trên toàn khoảng này.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $y^{\prime }>0$ trên các khoảng $(-2;0)$ và $(2;+\infty )$, nên hàm số đồng biến trên $(-2;0)$. Các phương án khác sai: $(0;2)$ hàm nghịch biến, $(-\infty ;2)$ và $(0;+\infty )$ không phải khoảng đồng biến do có điểm $y^{\prime }=0$ và đoạn nghịch biến bên trong. Đáp án khớp với đáp án nguồn là C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$. Hàm số nghịch biến khi $y^{\prime }<0$, tức $-1<x<1$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;1)$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn trang 6.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x\in (2;5)$ nên $f$ đồng biến trên mọi khoảng con của $(2;5)$. Trong các đáp án, chỉ có $(3;4)\subset (2;5)$, nên hàm số luôn đồng biến trên $(3;4)$. Các khoảng $\mathbb{R}$, $(0;+\infty )$, $(2;6)$ đều chứa điểm ngoài $(2;5)$ nên không thể khẳng định đồng biến.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=3x^2-27=3(x-3)(x+3)$. Hàm số nghịch biến khi $y^{\prime }<0$, tức $-3<x<3$. Khoảng nghịch biến là $(-3;3)$, chứa các số nguyên $-2,-1,0,1,2$ — tất cả 5 số nguyên này đều thuộc khoảng. Vậy khoảng nghịch biến có nhiều nhất 5 số nguyên. Kết quả trùng với đáp án nguồn (5).