Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

Tập xác định $D=\mathbb{R}$.

Ta có $y^{\prime }=-3x^2+3$; $y^{\prime }=0\iff -3x^2+3=0\iff \left[\begin{array}{c}x=-1\\ x=1\end{array}\right]$. (0,25 điểm)

Bảng biến thiên của hàm số $y=2x^3-3x^2+3$

(0,25 điểm)

Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;-1)$; $(1;+\infty )$; đồng biến trên khoảng $(-1;1)$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $y^{\prime }<0$ trên các khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(0;2)$. Trong các phương án, chỉ có $(0;2)$ (phương án D) là khoảng nghịch biến. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=-x^3+12x+1$ có $y^{\prime }=-3x^2+12$. Hàm đồng biến khi $y^{\prime }>0\iff -3x^2+12>0\iff x^2<4\iff -2<x<2$. Vậy khoảng đồng biến là $(-2;2)$, chứa các số nguyên $-1,0,1$ — nhiều nhất 3 số nguyên. Kết quả khớp với đáp án nguồn (3).

Tập xác định $D=\mathbb{R}$. Ta có $y^{\prime }=6x^2-6$; $y^{\prime }=0\iff 6x^2-6x=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ x=1\end{array}$. (0,25 điểm)

Bảng biến thiên của hàm số $y=2x^3-3x^2+3$

(0,5 điểm)

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;0)$; $(1;+\infty )$; nghịch biến trên khoảng $(0;1)$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $y^{\prime }>0$ (hàm đồng biến) trên khoảng $(0;1)$: $y^{\prime }$ âm trên $(-\infty ;0)$, dương trên $(0;1)$, âm trên $(1;+\infty )$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0;1)$, khớp với đáp án C trong bảng hướng dẫn chấm (mã đề 0101, câu 2).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại $x=-3,x=-1,x=1$. Từ hình vẽ, $f^{\prime }(x)>0$ trên các khoảng $(-3;-1)$ và $(1;+\infty )$, còn $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-3)$ và $(-1;1)$. Hàm số $y=f(x)$ đồng biến khi $f^{\prime }(x)>0$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(-3;-1)$ thỏa mãn (khoảng $(1;+\infty )$ không có trong các lựa chọn; đáp án B là $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$ không thỏa vì trên $(\frac{1}{2};1)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$). Vậy chọn D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số nghịch biến trên $(-3;-1)$, hằng (không đổi) bằng $-1$ trên $[-1;1]$, đồng biến trên $(1;3)$. Xét các khẳng định: A sai vì trên $(-3;0)$ hàm không nghịch biến trên toàn khoảng (trên $(-1;0)$ hàm không đổi); B đúng vì trên $(1;2)$ hàm đồng biến; C sai vì trên $(0;1)$ hàm không đổi nên không đồng biến trên $(0;3)$; D sai vì trên $(-1;1)$ hàm không đổi, không nghịch biến. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số bậc ba có điểm cực tiểu tại $x=-1$ và điểm cực đại tại $x=1$ (đồ thị đi xuống đến đáy tại $x=-1$ rồi đi lên đến đỉnh tại $x=1$, sau đó đi xuống). Hàm số nghịch biến trên khoảng giữa hai điểm cực trị, tức là $(-1;1)$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\left(9-x^2\right)}^{\frac{1}{3}}+\ln (1-x)$.
a) ${\left(9-x^2\right)}^{1/3}$ xác định với mọi $x$ (căn bậc ba), còn $\ln (1-x)$ yêu cầu $1-x>0\iff x<1$. Vậy tập xác định là $(-\infty ;1)$ → đúng.
b) Đạo hàm: $y^{\prime }=\frac{1}{3}{\left(9-x^2\right)}^{-2/3}\cdot (-2x)-\frac{1}{1-x}=\frac{-2x}{3\sqrt[3]{{\left(9-x^2\right)}^2}}-\frac{1}{1-x}$. Đề thiếu thừa số $-2x$ ở tử số → sai.
c) Với $x\in (0;1)$: $-2x<0$ nên $\frac{-2x}{3\sqrt[3]{(9-x^2{)}^2}}<0$ và $-\frac{1}{1-x}<0$, do đó $y^{\prime }<0$ trên $(0;1)$, hàm số nghịch biến → đúng.
d) Vì hàm nghịch biến trên $(0;1)$ nên trên đoạn $\left[\frac{1}{4};\frac{1}{2}\right]$ giá trị nhỏ nhất đạt tại $x=\frac{1}{2}$: $y\left(\frac{1}{2}\right)={\left(9-\frac{1}{4}\right)}^{1/3}+\ln \frac{1}{2}=\sqrt[3]{\frac{35}{4}}-\ln 2=\frac{\sqrt[3]{35}}{\sqrt[3]{4}}-\ln 2=\frac{\sqrt[3]{70}}{2}-\ln 2$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Căn bậc ba xác định với mọi $x$; $\ln (1-x)$ cần $x<1$. Vậy TXĐ là $(-\infty ;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-2x}{3\sqrt[3]{(9-x^2{)}^2}}-\frac{1}{1-x}$, thiếu thừa số $-2x$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;1)$, cả hai thành phần của $y^{\prime }$ đều âm nên $y^{\prime }<0$, hàm nghịch biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến nên min tại $x=\frac{1}{2}$: $y(\frac{1}{2})=\sqrt[3]{\frac{35}{4}}-\ln 2=\frac{1}{2}\sqrt[3]{70}-\ln 2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f(x)$: hàm đồng biến trên $(-4;-2)$ và $(1;3)$, nghịch biến trên $(-2;1)$ và $(3;4)$. Trong các đáp án, chỉ khoảng $(-2;1)$ là khoảng nghịch biến. Khớp với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)>0$ trên các khoảng $(-3;-1)$ và $(1;2)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-4;-3)$ và $(-1;1)$. Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng nào đó khi và chỉ khi $f^{\prime }(x)>0$ trên khoảng đó. Do đó $f$ đồng biến trên $(-3;-1)$ và $(1;2)$, tương ứng phương án D. Khớp với đáp án nguồn (Mã đề 110, Câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2-2x+1}{x-2}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Ta có $$y^{\prime }=\frac{(2x-2)(x-2)-(x^2-2x+1)}{(x-2{)}^2}=\frac{2x^2-6x+4-x^2+2x-1}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2{)}^2}.$$ Vì $(x-2{)}^2>0$ với mọi $x\ne 2$, dấu của $y^{\prime }$ theo dấu của $(x-1)(x-3)$: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;1)$ và $(3;+\infty )$; $y^{\prime }<0$ trên $(1;2)$ và $(2;3)$. Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;1)$ và $(3;+\infty )$, khớp với đáp án D trong bảng đáp án (Mã đề 110, Câu 6 = D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $g(x)=f(x)-2x$ với $x\in (0;2)$. Ta có $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-2$. Từ đồ thị của $y=f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(0)=2$, $f^{\prime }(2)=0$ và trên khoảng $(0;2)$ đồ thị $f^{\prime }(x)$ nằm dưới đường thẳng $y=2$ (giảm từ 2 xuống 0), tức $f^{\prime }(x)<2$ với mọi $x\in (0;2)$. Vậy $g^{\prime }(x)<0$ trên $(0;2)$, suyra $g$ nghịch biến trên $(0;2)$, do đó với mọi $x\in (0;2)$: $g(x)>g(2)=f(2)-4$ (dấu nghiêm ngặt vì $x<2$ và $g$ nghịch biến). Bất phương trình $f(x)>2x+m$ đúng với mọi $x\in (0;2)$ khi và chỉ khi $f(x)-2x>m$ với mọi $x\in (0;2)$, tức $m\le {\min }_{(0;2)}g(x)$. Vì $g(x)>f(2)-4$ với mọi $x\in (0;2)$ và $g(x)\to f(2)-4$ khi $x\to 2^{-}$, điều kiện cần và đủ là $m\le f(2)-4$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=2x^2-8x+6=2(x-1)(x-3)$. Hàm số nghịch biến khi $y^{\prime }<0$, tức $1<x<3$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(1;3)$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+1}{2-x}$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2-x)+(x+1)}{(2-x{)}^2}=\frac{3}{(2-x{)}^2}>0$ với mọi $x\ne 2$. Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$, không đồng biến trên hợp của hai khoảng này. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=\frac{x-1}{x+2}$ có $y^{\prime }=\frac{3}{(x+2{)}^2}>0$ nhưng hàm số không xác định tại $x=-2$, nên không đồng biến trên toàn $\mathbb{R}$. B) $y=2x^2-3x+2$ là hàm bậc hai với $a=2>0$ nên nghịch biến rồi đồng biến, không đồng biến trên $\mathbb{R}$. C) $y=x^3-3x^2+9x$ có $y^{\prime }=3x^2-6x+9=3(x-1{)}^2+3>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. D) $y=x^3-x+1$ có $y^{\prime }=3x^2-1$ đổi dấu tại $x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
h'(t) = -2·(π/12)·sin(πt/12 + π/3) = -(π/6)sin(πt/12 + π/3). Độ sâu tăng dần khi h'(t) > 0, tức sin(πt/12 + π/3) < 0. Với 0 ≤ t ≤ 24 thì π/3 ≤ πt/12 + π/3 ≤ 2π + π/3. Sin âm khi πt/12 + π/3 ∈ (π; 2π), tức πt/12 ∈ (2π/3; 5π/3), suy ra t ∈ (8; 20). Vậy khoảng tăng dần là (a;b) = (8;20), a = 8, b = 20. Do đó 5a² - b² = 5·64 - 400 = 320 - 400 = -64.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)>0$ (hàm đồng biến) trên các khoảng $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(-1;0)$ thỏa mãn. Loại A vì trên $(-\infty ;-1)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ (nghịch biến); loại C vì trên $(-1;1)$ hàm có cả đoạn đồng biến $(-1;0)$ và nghịch biến $(0;1)$; loại D vì trên $(0;1)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi $4x-x^2>0\iff 0<x<4$. Ta có $y^{\prime }=\frac{4-2x}{4x-x^2}$. Hàm số đồng biến khi $y^{\prime }>0\iff 4-2x>0\iff x<2$. Kết hợp điều kiện xác định $0<x<4$ ta được hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$. Trong các đáp án, khoảng $(0;1)$ nằm hoàn toàn trong $(0;2)$ nên hàm số đồng biến trên $(0;1)$. Các khoảng $(1;3)$, $(2;4)$ chứa điểm $x>2$ nên không thỏa mãn; $(4;+\infty )$ ngoài tập xác định. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=(x+2)(x-1{)}^2(x-5{)}^3$. Vì $(x-1{)}^2\ge 0$ nên dấu của $f^{\prime }$ phụ thuộc $(x+2)(x-5{)}^3$. Với $x<-2$: $(+)(-)=+$... cụ thể: $x<-2$: $(x+2)<0$, $(x-5{)}^3<0$ nên tích dương; $-2<x<5$: $(x+2)>0$, $(x-5{)}^3<0$ nên $f^{\prime }<0$; $x>5$: cả hai dương nên $f^{\prime }>0$. Vậy $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-2;5)$ và $f^{\prime }(-2)=0$, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;5)$ (vì $f^{\prime }<0$ trên mọi khoảng con của $(-\infty ;5)$ khác điểm $x=-2$). Đáp án C.