Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $f^{\prime }(x)\ge 0$ trên $(-\infty ;3]$ (tiếp xúc trục hoành tại $x=-2$ và cắt trục tại $x=3$), nên hàm số $f(x)$ đồng biến trên mọi khoảng con của $(-\infty ;3)$. Trong các đáp án, chỉ có khoảng $(-4;0)$ nằm hoàn toàn trong $(-\infty ;3)$, còn $(3;4)$, $(-4;4)$, $(0;4)$ đều chứa điểm $x>3$ nơi $f^{\prime }(x)<0$. Vậy hàm số đồng biến trên $(-4;0)$.

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí tổng: C(x)=5+0,15x+0,0005x^2 (triệu đồng), 0<x≤200. a) Đề ở câu a ghi hệ số tự do là 10 thay vì 5 nên Sai. b) C(100)=5+15+5=25 triệu đồng → Đúng. c) c̄(x)=C(x)/x=0,0005x+0,15+5/x → Đúng. d) c̄'(x)=0,0005−5/x^2<0 khi x<100, nên chi phí trung bình giảm trên (0;100], tức giảm khi sản lượng không vượt quá 100 m³ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
C(x)=5+0,15x+0,0005x^2=0,0005x^2+0,15x+5, không phải +10.
b) (AI giải đề cho tôi)
C(100)=0,0005·10000+0,15·100+5=5+15+5=25 triệu đồng.
c) (AI giải đề cho tôi)
c̄(x)=C(x)/x=0,0005x+0,15+5/x với 0<x≤200.
d) (AI giải đề cho tôi)
c̄'(x)=0,0005−5/x^2<0 khi x<100, nên c̄(x) nghịch biến... thực tế nghịch biến trên (0;100], tức chi phí trung bình giảm khi sản lượng không vượt quá 100 m³.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm bậc ba với điểm cực tiểu tại $x=-1$ và điểm cực đại tại $x=1$. Trên khoảng $(-1;1)$ đồ thị đi lên từ trái sang phải nên hàm số đồng biến trên $(-1;1)$. Trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$ hàm nghịch biến. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)<0$ trên khoảng $(-1;2)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, $f^{\prime }(x)>0$ trên các khoảng $(-\infty ;-3)$ và $(0;2)$. Do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$. Kiểm tra các phương án: A sai vì $f^{\prime }(x)<0$ trên $(2;+\infty )$; C sai vì $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-3;0)$; D sai vì $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-3;0)$. Đáp án khớp với mã đề 0102, câu 12: B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=x^2+2(m-1)x+(2m-3)$, ${\Delta }^{\prime }=(m-1{)}^2-(2m-3)=m^2-4m+4=(m-2{)}^2\ge 0$. a) Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $y^{\prime }\ge 0$ với mọi $x$, tức ${\Delta }^{\prime }\le 0\iff m=2$. Vậy khẳng định '$m\ne 2$' SAI. b) Nếu $m<0$ thì đỉnh parabol $y^{\prime }$ tại $x=1-m>1$ nằm trong $(1;+\infty )$, giá trị nhỏ nhất $-(m-2{)}^2<0$, hàm không đồng biến. Với $m\ge 0$, $y^{\prime }$ tăng dần trên $(1;+\infty )$ nên cần $y^{\prime }(1)=4m-4\ge 0\iff m\ge 1$. Vậy hàm đồng biến trên $(1;+\infty )$ khi và chỉ khi $m\ge 1$: ĐÚNG. c) Khi $m=1$: $y^{\prime }=x^2-1<0$ trên $(-1;1)$ nên hàm nghịch biến trên $(-1;1)$: ĐÚNG. d) Khi $m=1$: $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$ nên hàm đồng biến (không nghịch biến) trên các khoảng đó: SAI. Kết quả khớp với đáp án nguồn (3a S, 3b Đ, 3c Đ, 3d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=x^2+2(m-1)x+(2m-3)$, ${\Delta }^{\prime }=(m-2{)}^2$. Đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi ${\Delta }^{\prime }\le 0\iff m=2$, không phải $m\ne 2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m<0$, min của $y^{\prime }$ trên $(1;+\infty )$ là $-(m-2{)}^2<0$. Với $m\ge 0$, cần $y^{\prime }(1)=4m-4\ge 0\iff m\ge 1$. Vậy điều kiện là $m\ge 1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khi $m=1$, $y^{\prime }=x^2-1<0$ với $x\in (-1;1)$ nên hàm nghịch biến trên $(-1;1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khi $m=1$, $y^{\prime }=x^2-1>0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, hàm đồng biến trên các khoảng đó chứ không nghịch biến.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, $f^{\prime }(x)<0$ trên khoảng $(-1;2)$ (tại $x=0$ hàm liên tục, dấu $\Vert$ chỉ thể hiện không xác định tại một điểm). Vậy $f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-1;2)$, tức $a=-1$, $b=2$, nên $a+b=1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 0102, câu 3 = 1).

a) Sai. Khi $m=1$, hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-x+\frac{2}{3}$, $y^{\prime }=x^2-1=0\iff x=\pm 1$. Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(-1;1)$.
b) Đúng. Khi $m=1$, hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$.
c) Sai. $y^{\prime }=x^2+2(m-1)x+2m-3$. Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\iff y^{\prime }\ge 0\forall x\in \mathbb{R}\iff (m-1{)}^2-(2m-3)\le 0\iff (m-2{)}^2\le 0\iff m=2$.
d) Đúng. Để hàm số đồng biến trên $(-1;+\infty )\iff y^{\prime }\ge 0\forall x\in (1;+\infty )\iff m\ge \frac{-x^2+2x+3}{2x+2}\forall x\in (1;+\infty )\iff m\ge \underset{(1;+\infty )}{\mathrm{Max}}g(x)$ với $g(x)=\frac{-x^2+2x+3}{2x+2}$. Sử dụng CASIO ta có $\underset{(1;+\infty )}{\mathrm{Max}}g(x)=1$. Vậy $m\ge 1$.
a) Sai. Khi $m=1$, hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-x+\frac{2}{3}$. $$y^{\prime }=x^2-1=0\iff \{\begin{array}{l}x=-1\\ x=1\end{array}$$ Bảng biến thiên



Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$. Hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$. Do đó khẳng định a) là Sai.
b) Đúng. Khi $m=1$, hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-x+\frac{2}{3}$. $$y^{\prime }=x^2-1=0\iff \{\begin{array}{l}x=-1\\ x=1\end{array}$$ Bảng biến thiên



Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$. Hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$. Do đó khẳng định b) là Đúng.
c) Sai. $y^{\prime }=x^2+2(m-1)x+2m-3$. Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\iff y^{\prime }\ge 0\forall x\in \mathbb{R}\iff x^2+2(m-1)x+2m-3\ge 0\forall x\in \mathbb{R}$ $\iff (m-1{)}^2-(2m-3)\le 0\iff (m-2{)}^2\le 0\iff m=2$.
d) Đúng. Để hàm số đồng biến trên $(-1;+\infty )\iff y^{\prime }\ge 0\forall x\in (1;+\infty )$ $\iff x^2+2(m-1)x+2m-3\ge 0\forall x\in (1;+\infty )$ $\iff m\ge \frac{-x^2+2x+3}{2x+2}$ $\forall x\in (1;+\infty )$ $\iff m\ge \underset{(1;+\infty )}{\mathrm{Max}}g(x)$ với $g(x)=\frac{-x^2+2x+3}{2x+2}$. Sử dụng CASIO ta có $\underset{(1;+\infty )}{\mathrm{Max}}g(x)=1$. Vậy $m\ge 1$.

Vì hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;2)$. Suy ra $a=-1,b=2$. Vậy $a+b=1$.

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-3)$ và $(0;2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A) $y=\frac{x-1}{x-2}$ có $y^{\prime }=\frac{-1}{(x-2{)}^2}<0$ nên nghịch biến trên từng khoảng xác định, không đồng biến trên $\mathbb{R}$. B) $y=x^3+x$ có $y^{\prime }=3x^2+1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$. C) $y=-x^3-3x$ có $y^{\prime }=-3x^2-3<0$ nên nghịch biến. D) $y=\frac{x+1}{x+3}$ có $y^{\prime }=\frac{2}{(x+3{)}^2}>0$ nhưng hàm không xác định tại $x=-3$, nên không đồng biến trên toàn $\mathbb{R}$. Vậy hàm đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$ là $y=x^3+x$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;0)$ nên hàm nghịch biến trên khoảng đó → a) Đúng. Trên $(0;4)$: hàm đồng biến trên $(0;1)$ nhưng nghịch biến trên $(1;3)$, nên không đồng biến trên toàn khoảng $(0;4)$ → b) Sai. Xét $f(x)=3$: trên $(-\infty ;0)$ hàm giảm từ $+\infty$ xuống $0$ nên có 1 nghiệm; trên $(0;1)$ hàm tăng từ $0$ đến $4$ nên có 1 nghiệm; trên $(1;3)$ hàm giảm từ $4$ về $0$ nên có 1 nghiệm; trên $(3;+\infty )$ hàm tăng từ $0$ đến $+\infty$ nên có 1 nghiệm. Tổng cộng 4 nghiệm → c) Đúng. Hàm có cực đại tại $x=1$ với giá trị cực đại $f(1)=4$, không phải 1 → d) Sai. Kết quả khớp đáp án mã đề 102: DSDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-\infty ;0)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên $(0;1)$ nhưng nghịch biến trên $(1;3)$, nên không đồng biến trên $(0;4)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi khoảng $(-\infty ;0)$, $(0;1)$, $(1;3)$, $(3;+\infty )$ đều có đúng 1 nghiệm của $f(x)=3$ vì $3$ nằm giữa hai giá trị giới hạn tại hai đầu của mỗi khoảng; tổng cộng 4 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đạt cực đại tại $x=1$ với giá trị cực đại bằng $f(1)=4$, không phải 1.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số bậc ba có điểm cực tiểu tại $x=0$ (giá trị $-1$) và điểm cực đại tại $x=2$ (giá trị $3$). Hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$, đồng biến trên $(0;2)$. Vậy hàm số đồng biến trong khoảng $(0;2)$, tương ứng phương án B. Kết quả này trùng với đáp án ma đề 102 (Câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $h(t)=6t^3-81t^2+324t$ trên $[0;8]$. Ta có $h^{\prime }(t)=18t^2-162t+324=18(t^2-9t+18)=18(t-3)(t-6)$. Khinh khí cầu giảm độ cao khi $h^{\prime }(t)<0$, tức $3<t<6$. Vậy khoảng giảm dần là $(a;b)=(3;6)$, suy ra $a=3$, $b=6$ và $P=2b-3a=2\cdot 6-3\cdot 3=12-9=3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đáp án 3).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;0)$ và $(1;3)$; $f^{\prime }(x)>0$ trên $(0;1)$ và $(3;+\infty )$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ và $x=3$ với $f(0)=f(3)=0$, đạt cực đại tại $x=1$ với $f(1)=4$; khi $x\to \pm \infty$, $f(x)\to +\infty$.
a) Đúng. Xét $f(x)=3$: trên $(-\infty ;0)$ hàm giảm từ $+\infty$ xuống $0$ nên có 1 nghiệm; trên $(0;1)$ hàm tăng từ $0$ lên $4$ nên có 1 nghiệm; trên $(1;3)$ hàm giảm từ $4$ xuống $0$ nên có 1 nghiệm; trên $(3;+\infty )$ hàm tăng từ $0$ lên $+\infty$ nên có 1 nghiệm. Tổng cộng phương trình có 4 nghiệm.
b) Đúng. $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;0)$ nên hàm nghịch biến trên khoảng này.
c) Sai. Hàm số có giá trị cực đại bằng $f(1)=4$, không phải bằng 1.
d) Sai. Trên $(1;3)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm nghịch biến, do đó hàm không đồng biến trên toàn khoảng $(0;4)$. Kết quả khớp đáp án mã đề 101: DDSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên mỗi khoảng $(-\infty ;0)$, $(0;1)$, $(1;3)$, $(3;+\infty )$, do tính đơn điệu và giới hạn tại hai đầu, phương trình $f(x)=3$ mỗi lần có đúng 1 nghiệm, tổng cộng 4 nghiệm.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;0)$ nên hàm nghịch biến trên khoảng này.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đạt cực đại tại $x=1$ với giá trị $f(1)=4$, không phải 1.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)<0$ trên $(1;3)$ nên hàm không đồng biến trên toàn khoảng $(0;4)$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $h(t)=6t^3-81t^2+324t$ trên $[0;8]$. Ta có $h^{\prime }(t)=18t^2-162t+324=18(t^2-9t+18)=18(t-3)(t-6)$. Khinh khí cầu giảm độ cao khi $h^{\prime }(t)<0$, tức $3<t<6$. Vậy khoảng giảm dần là $(a;b)=(3;6)$, suy ra $P=2b-3a=2\cdot 6-3\cdot 3=12-9=3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 22, mã đề 101: 3).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số: A và C là hàm phân thức $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ với $ac<0$ nên nghịch biến trên từng khoảng xác định, không đồng biến trên $\mathbb{R}$ (còn bị gián đoạn tại $x=2$ và $x=-3$). B: $y=-x^3-3x$ có $y^{\prime }=-3x^2-3<0$ với mọi $x$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$. D: $y=x^3+x$ có $y^{\prime }=3x^2+1>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên đồng biến trên $(-\infty ;+\infty )$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 3, mã đề 101: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có cực tiểu tại $x=0$ (giá trị $-1$) và cực đại tại $x=2$ (giá trị $3$). Do đó $y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$ có hai nghiệm $x=0$ và $x=2$, với $a>0$ (vì nhánh trái đi lên). Khi đó $y^{\prime }>0$ trên $(0;2)$ và $y^{\prime }<0$ trên $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(0;2)$, chọn đáp án D. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 7, Mã đề 101: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)$. Khi đó $y^{\prime }>0$ trên $(-\infty ;-1)$ và $(3;+\infty )$ nên hàm số đồng biến trên các khoảng này; $y^{\prime }<0$ trên $(-1;3)$ nên hàm số nghịch biến trên $(-1;3)$. Do đó khẳng định đúng là D. Khớp với đáp án nguồn (đề 0102, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)<0$ trên $(-\infty ;-1)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-1;0)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;1)$, $f^{\prime }(x)>0$ trên $(1;+\infty )$. Vậy hàm số đồng biến trên $(-1;0)$ và $(1;+\infty )$. Trong các đáp án, chỉ có $(-1;0)$ xuất hiện. Đáp án A sai vì $f^{\prime }(x)<0$ trên $(0;1)$; C sai vì nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$; D sai vì nghịch biến trên $(0;1)$. Khớp đáp án nguồn B (đề 0102, câu 4).