Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x+a}{x-1}=1+\frac{a+1}{x-1}$ có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$, đúng như hai đường thẳng trong hình. Trên hình, đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;-1)$ (nhánh trái nằm dưới tiệm cận ngang và đi xuống qua trục tung dưới gốc $O$). Do đó $y(0)=\frac{a}{0-1}=-a=-1\Rightarrow a=1$. Kiểm tra: với $a=1$, $y=\frac{x+1}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$, có $a+1=2>0$ nên hai nhánh đều nghịch biến, nhánh phải nằm trên $y=1$, nhánh trái nằm dưới $y=1$, và $y(2)=3$ — hoàn toàn khớp với đồ thị trong hình. Vậy $a=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2f(x)-3=0\iff f(x)=\frac{3}{2}$. Từ bảng biến thiên ở trang 19: trên $(-\infty ;-1)$ hàm số đồng biến từ $-\infty$ đến $4$, vì $-\infty <\frac{3}{2}<4$ nên có đúng 1 nghiệm; trên $(-1;1)$ hàm số nghịch biến từ $4$ xuống $-1$, vì $-1<\frac{3}{2}<4$ nên có đúng 1 nghiệm; trên $(1;+\infty )$ hàm số đồng biến từ $-1$ đến $+\infty$, vì $-1<\frac{3}{2}<+\infty$ nên có đúng 1 nghiệm. Vậy tổng cộng phương trình có $1+1+1=3$ nghiệm, khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm bậc ba có cực đại bằng $2$ (tại $x=0$) và cực tiểu bằng $-2$ (tại $x=2$). Phương trình $3f(x)+4=0\iff f(x)=-\frac{4}{3}$. Vì $-2<-\frac{4}{3}<2$, đường thẳng $y=-\frac{4}{3}$ nằm giữa cực đại và cực tiểu nên cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt. Vậy phương trình có 3 nghiệm thực.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-3x^2+3=x\iff x^3-3x^2-x+3=0\iff x^2(x-3)-(x-3)=0\iff (x-3)(x^2-1)=0\iff x=3$ hoặc $x=\pm 1$. Với $x=1$ thì $y=1$; với $x=-1$ thì $y=-1$; với $x=3$ thì $y=3$. Vậy đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+3$ cắt đường thẳng $y=x$ tại ba điểm $(-1;-1)$, $(1;1)$ và $(3;3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị câu 7 (trang 2): hàm bậc ba có hệ số $a<0$, đạt cực tiểu tại điểm $(-1;-2)$ và cực đại tại điểm $(1;2)$. Xét phương trình $f(x)=2$, tức số giao điểm của đồ thị với đường thẳng $y=2$:
- Nhánh trái (giảm từ $+\infty$ xuống cực tiểu $-2$): cắt đường thẳng $y=2$ tại đúng một điểm.
- Nhánh giữa (tăng từ $-2$ lên cực đại $2$): giá trị lớn nhất trên nhánh này bằng $2$, đạt tại $x=1$, nên chỉ tiếp xúc tại đúng điểm $(1;2)$ — một nghiệm (nghiệm kép).
- Nhánh phải (giảm từ $2$ xuống $-\infty$): luôn $\le 2$, không có giao điểm nào khác.
Vậy phương trình $f(x)=2$ có 2 nghiệm thực phân biệt. Chọn C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 51 dùng bảng biến thiên của hàm $f(x)$ ở Câu 50: $f$ đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ từ $-\infty$ đến $3$, nghịch biến trên $(-1;0)$ từ $3$ xuống $1$, đồng biến trên $(0;1)$ từ $1$ lên $3$, nghịch biến trên $(1;+\infty )$ từ $3$ xuống $-\infty$. Xét $f(x)+2=0\iff f(x)=-2$: trên $(-\infty ;-1)$, $f$ đi từ $-\infty$ lên $3$ nên có đúng 1 nghiệm; trên $(-1;0)$ và $(0;1)$, $f(x)\ge 1>-2$ nên không có nghiệm; trên $(1;+\infty )$, $f$ đi từ $3$ xuống $-\infty$ nên có đúng 1 nghiệm. Vậy phương trình có 2 nghiệm, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: trên $(-\infty ,-2)$ hàm số tăng từ $-\infty$ đến $0$ nên không đạt giá trị $3$; trên $(-2,0)$ hàm số giảm từ $0$ đến $-4$ nên không đạt $3$; trên $(0,+\infty )$ hàm số tăng liên tục từ $-4$ đến $+\infty$, do đó phương trình $f(x)=3$ có đúng $1$ nghiệm trên khoảng này. Vậy số nghiệm là $1$, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét phương trình $x^3-2x^2+x-1=m$, tức $f(x)=x^3-2x^2+x-1-m=0$. Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-4x+1=0\iff x=\frac{1}{3}$ hoặc $x=1$. Tại $x=\frac{1}{3}$: $f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{27}-\frac{2}{9}+\frac{1}{3}-1-m=-\frac{23}{27}-m$ (cực đại); tại $x=1$: $f(1)=1-2+1-1-m=-1-m$ (cực tiểu). Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi hai giá trị cực trị trái dấu, tức $\left(-\frac{23}{27}-m\right)\left(-1-m\right)<0\iff -1<m<-\frac{23}{27}$ (khi đó $-\frac{23}{27}-m>0$ và $-1-m<0$). Do đó số giao điểm nhiều nhất là 3, khớp với đáp án đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Giao điểm với trục $Ox$: giải $x^3-3x^2+2x=0\iff x(x^2-3x+2)=0\iff x(x-1)(x-2)=0$, cho $x=0$, $x=1$, $x=2$ — ba nghiệm phân biệt. Vậy đồ thị cắt trục $Ox$ tại 3 điểm, đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1202, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Giao điểm với trục $Ox$: giải $x^3-3x^2+2x=0\iff x(x^2-3x+2)=0\iff x(x-1)(x-2)=0$, được $x=0,x=1,x=2$ — ba nghiệm phân biệt. Vậy đồ thị cắt trục $Ox$ tại 3 điểm, khớp đáp án C trong bảng đáp án (Mã đề 1201, Câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-2x^2=-2x^2+5x\iff x^3-7x=0\iff x(x^2-7)=0\iff x=0$ hoặc $x=\pm \sqrt{7}$. Phương trình có 3 nghiệm phân biệt nên hai đồ thị cắt nhau tại 3 điểm. Đáp án C, khớp với đáp án ma trận (đề 0102, câu 2 = C).

Số giao điểm của hai đồ thị hàm số là số nghiệm của phương trình:
$$x^3-2x^2=-2x^2+5x\iff x^3-5x=0\iff \{\begin{array}{l}x=0\\ x=-\sqrt{5}\\ x=\sqrt{5}\end{array}$$
Vậy số giao điểm là 3.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc ba có điểm cực tiểu $(-1;-2)$ và điểm cực đại $(1;2)$. Phương trình $f(x)=-2$ tương ứng với giao điểm của đồ thị với đường thẳng $y=-2$. Vì $y=-2$ trùng với giá trị cực tiểu, đường thẳng này tiếp xúc đồ thị tại điểm cực tiểu $x=-1$ (một nghiệm kép) và cắt nhánh giảm bên phải đồ thị tại đúng một điểm khác (do nhánh bên phải đi xuống tới $-\infty$). Vậy phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (đề 102, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc ba có cực tiểu bằng $-2$ tại $x=-1$ và cực đại bằng $2$ tại $x=1$. Xét phương trình $f(x)=-2$ tức tìm giao điểm của đồ thị với đường thẳng $y=-2$. Đường thẳng $y=-2$ tiếp xúc với đồ thị tại điểm cực tiểu $(x=-1)$ (cho một nghiệm kép tại đó) và cắt nhánh bên phải của đồ thị (đi xuống $-\infty$ khi $x\to +\infty$) tại đúng một điểm nữa. Vậy phương trình có $2$ nghiệm thực phân biệt. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích $x^3-3x^2+2=(x-1)(x^2-2x-2)$. Nghiệm: $x=1$, $x=1\pm \sqrt{3}$. Với $\sqrt{3}\approx 1,732$ ta có $1-\sqrt{3}\approx -0,732\in (-2;3)$, $x=1\in (-2;3)$, $1+\sqrt{3}\approx 2,732\in (-2;3)$. Vậy cả ba nghiệm đều thuộc $(-2;3)$, do đó phương trình có ít nhất hai nghiệm trên khoảng $(-2;3)$ → khẳng định A đúng. B sai (có 3 nghiệm), C sai, D sai (trên $(-2;0)$ chỉ có nghiệm $1-\sqrt{3}$).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $3f(x)+4=0$ tương đương $f(x)=-\frac{4}{3}$. Từ đồ thị, hàm số bậc ba có cực đại $f(0)=2$ và cực tiểu $f(2)=-2$. Đường thẳng $y=-\frac{4}{3}$ nằm giữa $-2$ và $2$ (vì $-2<-\frac{4}{3}<2$), nên cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt. Vậy phương trình có 3 nghiệm thực, đáp án D. Điều này khớp với đáp án nguồn (Câu 10, mã đề 1002: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số có cực đại $y=2$ (tại $x\approx 0$) và cực tiểu $y=-2$ (tại $x\approx 2$). Phương trình $3f(x)+4=0\iff f(x)=-\frac{4}{3}$. Vì $-2<-\frac{4}{3}<2$, đường thẳng $y=-\frac{4}{3}$ cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt (mỗi nhánh đơn điệu một điểm). Vậy phương trình có 3 nghiệm thực, đáp án C, khớp với đáp án nguồn (Câu 8, mã đề 1001: C).

(AI giải đề cho tôi)
Số giao điểm của đồ thị $y=x^3-3x+1$ với trục hoành là số nghiệm của phương trình $x^3-3x+1=0$. Xét $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$. Có $f(-1)=3>0$ (cực đại) và $f(1)=-1<0$ (cực tiểu), đồng thời ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\pm \infty$. Do đó hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt (một nghiệm trong $(-\infty ,-1)$, một trong $(-1,1)$, một trong $(1,+\infty )$). Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (đề 259, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $x^3-6x^2+11x-6=0$. Thử $x=1$: $1-6+11-6=0$, nên phân tích $x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6)=(x-1)(x-2)(x-3)$. Phương trình có ba nghiệm phân biệt $x=1,2,3$, vậy đồ thị cắt trục hoành tại đúng 3 điểm phân biệt. Đáp án A.