Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tương giao và tham số (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f$ tăng từ $-\infty$ đến $3$ trên $(-\infty ;-1)$, giảm từ $3$ về $1$ trên $(-1;0)$, tăng từ $1$ đến $3$ trên $(0;1)$, giảm từ $3$ về $-\infty$ trên $(1;+\infty )$, và $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Xét phương trình $f(x)=2$ (vì $1<2<3$): trên mỗi khoảng $(-\infty ;-1)$, $(-1;0)$, $(0;1)$, $(1;+\infty )$, do tính đơn điệu và $2$ nằm giữa hai giá trị giới hạn tương ứng, mỗi khoảng có đúng $1$ nghiệm. Vậy tổng cộng có $4$ nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, hàm số có tiệm cận đứng $x=0$ (ký hiệu $\Vert$), với các nhánh: trên $(-\infty ;0)$ giảm từ $+\infty$ về $-1$ (không đạt giá trị $-1$, nhận khoảng giá trị $(-1;+\infty )$); trên $(0;1)$ tăng từ $-\infty$ đến $2$; trên $(1;+\infty )$ giảm từ $2$ về $-\infty$. Xét số nghiệm của $f(x)=m$ theo $m$:
- $m>2$: chỉ nhánh 1 cắt, được 1 nghiệm.
- $m=2$: nhánh 1 cho 1 nghiệm và $x=1$ cho 1 nghiệm → đúng 2 nghiệm.
- $-1<m<2$: cả 3 nhánh đều cắt → 3 nghiệm.
- $m=-1$: nhánh 2 và nhánh 3 mỗi nhánh cho 1 nghiệm (nhánh 1 không đạt $-1$) → đúng 2 nghiệm.
- $m<-1$: nhánh 2 và nhánh 3 mỗi nhánh cho 1 nghiệm → đúng 2 nghiệm.
Vậy $f(x)=m$ có đúng hai nghiệm khi và chỉ khi $m\le -1$ hoặc $m=2$. Điều này khớp với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: trên $(-\infty ;0)$ hàm số giảm từ $+\infty$ đến $-1$ (không đạt giá trị $-1$ vì $x=0$ là tiệm cận đứng); trên $(0;1)$ hàm tăng từ $-\infty$ đến $2$; trên $(1;+\infty )$ hàm giảm từ $2$ đến $-\infty$. Xét số nghiệm của $f(x)=m$ theo mỗi nhánh: với $m>2$ chỉ có 1 nghiệm (nhánh thứ nhất); với $m=2$ có 2 nghiệm (hai nhánh $(0;1)$ và $(1;+\infty )$ đạt cực đại $2$); với $-1<m<2$ có 3 nghiệm; với $m=-1$ nhánh thứ nhất không cho nghiệm (do $-1$ không đạt được), hai nhánh còn lại cho 2 nghiệm; với $m<-1$ có đúng 2 nghiệm (hai nhánh $(0;1)$ và $(1;+\infty )$). Vậy phương trình có đúng hai nghiệm khi $m\le -1$ hoặc $m=2$. Đáp án C, khớp với đáp án nguồn (Câu 10, mã đề 101: C).

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $x^3-3x+4m-1=0$ tương đương $4m=1-(x^3-3x)$, tức $m=\frac{1-f(x)}{4}$ với $f(x)=x^3-3x$, $x\in [-3;4]$. Xét $f^{\prime }(x)=3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm 1$. Ta có $f(-3)=-27+9=-18$; $f(-1)=-1+3=2$ (cực đại); $f(1)=1-3=-2$ (cực tiểu); $f(4)=64-12=52$. Vậy giá trị lớn nhất của $f$ trên $[-3;4]$ là $52$, giá trị nhỏ nhất là $-18$. Do đó $-18\le f(x)\le 52$ nên $\frac{1-52}{4}\le m\le \frac{1+18}{4}$, tức $-\frac{51}{4}\le m\le \frac{19}{4}$. Các giá trị nguyên của $m$: từ $-12$ đến $4$, có $4-(-12)+1=17$ giá trị. Kết quả trùng với đáp án nguồn (17).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $g(x)=x^3-3x^2+2$ với $x\in [1;3]$. Ta có $g^{\prime }(x)=3x(x-2)$, nên $g$ giảm trên $[1;2]$ từ $g(1)=0$ xuống $g(2)=-2$, rồi tăng lên $g(3)=2$. Vậy $g([1;3])=[-2;2]$.

Phương trình $f(x^3-3x^2+2)=m^2-3m$ có nghiệm thuộc $[1;3]$ khi và chỉ khi phương trình $f(t)=m^2-3m$ có nghiệm $t\in [-2;2]$.

Từ đồ thị, trên đoạn $[-2;2]$ hàm số liên tục, đạt giá trị nhỏ nhất $-2$ (khoảng $t$ gần $0,5$) và giá trị lớn nhất $4$ (tại $t=2$), do đó $f([-2;2])=[-2;4]$ (hàm liên tục nên đạt mọi giá trị trung gian).

Vậy cần $-2\le m^2-3m\le 4$, tức:
- $m^2-3m\ge -2\iff m^2-3m+2\ge 0\iff m\le 1$ hoặc $m\ge 2$;
- $m^2-3m\le 4\iff m^2-3m-4\le 0\iff -1\le m\le 4$.

Giao hai điều kiện: $m\in [-1;1]\cup [2;4]$. Các giá trị nguyên: $m\in \{-1,0,1,2,3,4\}$, gồm 6 giá trị.

Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{2x^2+3x+4}{x-1}=3x+2$ (với $x\ne 1$). Suy ra $2x^2+3x+4=(3x+2)(x-1)=3x^2-x-2$, tức $x^2-4x-6=0$. Hai nghiệm phân biệt $m,n$ (đều khác 1) có $m+n=4$, $mn=-6$. Vậy $K=m^2+n^2=(m+n{)}^2-2mn=16+12=28$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-x+3=2x+1\iff x^3-3x+2=0\iff (x-1{)}^2(x+2)=0$, cho $x=-2$ hoặc $x=1$. Vậy $x_A=-2<x_B=1$, $y_B=2(1)+1=3$. Do đó $x_B-y_B^2=1-9=-8$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=2-2x$ ta có ${\left(\ln f(x)\right)}^{\prime }=2-2x$, suy ra $\ln f(x)=2x-x^2+C$. Vì $f(0)=1$ nên $C=0$, do đó $f(x)=e^{2x-x^2}$.

Xét $f^{\prime }(x)=e^{2x-x^2}(2-2x)$: $f^{\prime }(x)>0$ khi $x<1$, $f^{\prime }(x)<0$ khi $x>1$, nên $f$ đồng biến trên $(-\infty ;1]$ và nghịch biến trên $[1;+\infty )$, đạt cực đại $f(1)=e$.

Ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=0$ và $f(0)=f(2)=e^0=1$.

Xét số nghiệm của $f(x)=m$ (với $m>0$ vì $f(x)>0$):
- Nếu $0<m<1$: mỗi nhánh đồng biến, nghịch biến cho đúng một nghiệm → hai nghiệm phân biệt.
- Nếu $m=1$: có hai nghiệm phân biệt $x=0$ và $x=2$ → thỏa mãn.
- Nếu $1<m<e$: hai nhánh vẫn cho hai nghiệm phân biệt (vì $f(0)=1<m<e=f(1)$) → thỏa mãn.
- Nếu $m=e$: chỉ có một nghiệm $x=1$ → loại.
- Nếu $m\le 0$: vô nghiệm (do $f(x)>0$) → loại.

Vậy phương trình $f(x)=m$ có hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi $0<m<e$, tức $m\in (0;e)$.

Chọn B

Phương trình $f\left(3-\sqrt{4-x^2}\right)=3\iff \{\begin{array}{l}3-\sqrt{4-x^2}=-1\\ 3-\sqrt{4-x^2}=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}\sqrt{4-x^2}=4.(vn)\\ \sqrt{4-x^2}=1\end{array}\iff x=\pm \sqrt{3}$

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: trên $(-\infty ;-1)$ hàm số đồng biến từ $-\infty$ đến $2$; trên $(-1;1)$ và $(1;3)$ hàm số đồng biến/giảm với tiệm cận đứng tại $x=1$ ($f\to +\infty$ khi $x\to 1^{\pm }$), giảm từ $+\infty$ xuống $-4$ tại $x=3$; trên $(3;+\infty )$ đồng biến từ $-4$ đến $+\infty$.

Đặt $t=1-2\sin x$, khi đó $t\in [-1;3]$. Phương trình $|f(t)|=3\iff f(t)=3$ hoặc $f(t)=-3$.

• $f(t)=3$: trên $(-1;3)$ hàm giảm từ $+\infty$ (khi $t\to 1^{+}$... thực tế nhánh giảm từ $+\infty$ tại $1^{+}$) xuống $-4$, nên $f(t)=3$ có đúng một nghiệm $t_1\in (1;3)$ (nhánh $(-\infty ;-1)$ chỉ đạt giá trị $<2$, không cho nghiệm). Khi đó $\sin x=\frac{1-t_1}{2}\in (-1;0)$, phương trình này có $2$ nghiệm trên $[0;2\pi )$.

• $f(t)=-3$: trên $(1;3)$ hàm giảm từ $+\infty$ xuống $-4$ nên có đúng một nghiệm $t_2\in (1;3)$ (các nhánh khác cho $t\notin [-1;3]$). Khi đó $\sin x=\frac{1-t_2}{2}\in (-1;0)$, có $2$ nghiệm trên $[0;2\pi )$.

Vậy tổng cộng phương trình có $2+2=4$ nghiệm (xét trên $[0;2\pi )$). Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{x^2-2x}{x+1}=2x-4$ (với $x\ne -1$). Suy ra $x^2-2x=(2x-4)(x+1)=2x^2-2x-4$, tức $x^2-4=0\Rightarrow x=\pm 2$. Điểm $A$ có hoành độ âm nên $x_A=-2$ (tung độ $y_A=2(-2)-4=-8$). Đạo hàm: $y^{\prime }=\frac{(2x-2)(x+1)-(x^2-2x)}{(x+1{)}^2}=\frac{2x^2-2-x^2+2x}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-2}{(x+1{)}^2}$. Tại $x=-2$: $k=y^{\prime }(-2)=\frac{4-4-2}{(-1{)}^2}=-2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tiếp điểm $M(a;a^4-2a^2)$ trên $(C)$. Ta có $y^{\prime }=4x^3-4x$, suy ra hệ số góc tại $a$ là $k=4a^3-4a$. Phương trình tiếp tuyến: $y=(4a^3-4a)(x-a)+a^4-2a^2$. Tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ $(0;0)$: $0=-(4a^3-4a)a+a^4-2a^2=-4a^4+4a^2+a^4-2a^2=-3a^4+2a^2$. Suy ra $a^2(2-3a^2)=0$, tức $a=0$ hoặc $a=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$. Vậy có 3 giá trị $a$ phân biệt, tương ứng 3 tiếp tuyến: tại $a=0$ (tiếp tuyến $y=0$) và tại hai điểm đối xứng $a=\pm \sqrt{2/3}$. Kết luận: có 3 tiếp tuyến của $(C)$ đi qua gốc tọa độ.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3+m{x}^2+1=-x+1\iff x(x^2+mx+1)=0$. Ba giao điểm phân biệt khi $x^2+mx+1=0$ có hai nghiệm phân biệt khác 0, tức $m^2>4$. Gọi $x_B,x_C$ là hai nghiệm đó: $x_B+x_C=-m$, $x_B{x}_C=1$.

$y^{\prime }=3x^2+2mx$. Hệ số góc hai tiếp tuyến: $k_B=3x_B^2+2m{x}_B=x_B(3x_B+2m)$, $k_C=x_C(3x_C+2m)$.

$k_B{k}_C=x_B{x}_C(3x_B+2m)(3x_C+2m)=9(x_B{x}_C)+6m(x_B+x_C)+4m^2=9-6m^2+4m^2=9-2m^2$.

Hai tiếp tuyến vuông góc: $k_B{k}_C=-1\iff 9-2m^2=-1\iff m^2=5\iff m=\pm \sqrt{5}$. Thỏa mãn $m^2>4$. Vậy $m=\pm \sqrt{5}$.

a) Lập bảng biến thiên đúng (0,75 điểm). Vẽ đồ thị đúng (0,75 điểm).

b) Hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ và $(P)$ là nghiệm của phương trình: $x^2-3x+4=2x-m\iff x^2-5x+m+4=0$ (1). $\Delta =25-\mathrm{4.1.}(m+4)=9-4m$. Đường thẳng $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $\iff \Delta >0\iff 9-4m>0\iff m<\frac{9}{4}$ (*).

Với điều kiện (*), gọi hai giao điểm của $d$ và $(P)$ là $A(x_1;2x_1-m),B(x_2;2x_2-m)$, trong đó $x_1,x_2$ là các nghiệm của phương trình (1). Theo định lý Viet ta có: $x_1+x_2=5,x_1{x}_2=m+4$. Ta có: $O{A}^2+O{B}^2=57\iff x_1^2+(2x_1-m{)}^2+x_2^2+(2x_2-m{)}^2=57$

$\iff 5(x_1+x_2{)}^2-10x_1{x}_2-4m(x_1+x_2)+2m^2=57\iff 5.5^2-10(m+4)-4m.5+2m^2=57$

$$\iff 2m^2-30m+28=0\iff \{\begin{array}{l}m=1\\ m=14\end{array}$$
Đối chiếu với điều kiện (*) ta nhận $m=1$ thỏa mãn đề bài.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khoảng xác định với đường thẳng $y=1$: Trên $(-\infty ;-1)$, hàm số đồng biến từ $-\infty$ đến $2$, vì $-\infty <1<2$ nên có đúng 1 giao điểm. Trên $(-1;3)$, hàm số nghịch biến từ $+\infty$ xuống $-4$, vì $-4<1<+\infty$ nên có đúng 1 giao điểm. Trên $(3;+\infty )$, hàm số đồng biến từ $-4$ đến $+\infty$, vì $-4<1<+\infty$ nên có đúng 1 giao điểm. Vậy tổng số giao điểm của đường thẳng $y=1$ và đồ thị hàm số là $1+1+1=3$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2f(x)-m=0$ tương đương $f(x)=\frac{m}{2}$. Từ bảng biến thiên: $f$ tăng từ $-\infty$ đến $4$ trên $(-\infty ;1]$, giảm từ $4$ xuống $0$ trên $[1;2]$, tăng từ $0$ đến $+\infty$ trên $[2;+\infty )$. Xét số nghiệm của $f(x)=k$ theo $k$: nếu $k<0$ thì chỉ có 1 nghiệm (trên nhánh đầu vì $f$ tăng từ $-\infty$ lên 4); nếu $k=0$ thì có 2 nghiệm (một nghiệm trên nhánh đầu và $x=2$); nếu $0<k<4$ thì có 3 nghiệm; nếu $k=4$ thì có 1 nghiệm ($x=1$); nếu $k>4$ thì có 1 nghiệm (nhánh cuối). Vậy phương trình có đúng một nghiệm khi $\frac{m}{2}<0$ (tức $m<0$), $\frac{m}{2}=4$ (tức $m=8$), hoặc $\frac{m}{2}>4$ (tức $m>8$). Lưu ý $m=0$ không thỏa mãn vì khi đó $f(x)=0$ có 2 nghiệm. Kết hợp $m\in (-3;2024]$ nguyên: $m\in \{-2,-1\}\cup \{8\}\cup \{9,10,\dots ,2024\}$. Số giá trị: $2+1+(2024-9+1)=2+1+2016=2019$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2-x+2}{x-2}=x+1+\frac{4}{x-2}$, xác định với $x\ne 2$. Phương trình $f(x)=m$ tương đương $x+1+\frac{4}{x-2}=m\iff (x+1-m)(x-2)+4=0\iff x^2-(m+1)x+2m+2=0$. Kiểm tra $x=2$: $4-2(m+1)+2m+2=4\ne 0$ nên $x=2$ không bao giờ là nghiệm, do đó chỉ cần phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt: $\Delta =(m+1{)}^2-4(2m+2)=m^2-6m-7>0\iff m<-1$ hoặc $m>7$. Vậy $m\in (-\infty ;-1)\cup (7;+\infty )$.

Dựa vào đồ thị hàm số $y=f(x)$, phương trình $f(u)=0$ có 3 nghiệm thực phân biệt $u_1<u_2<u_3$ thỏa mãn $y_{CT}<u_1<u_2<u_3<y_{CD}$.
Khi đó phương trình $f(f(x))=0$ tương đương với:
$[<table><tbody><tr><td>f(x)=u_1</td></tr><tr><td>f(x)=u_2</td></tr><tr><td>f(x)=u_3</td></tr></tbody></table>$.
Vì mỗi giá trị $u_i$ đều nằm giữa giá trị cực tiểu và giá trị cực đại của hàm số nên mỗi đường thẳng $y=u_i$ cắt đồ thị $y=f(x)$ tại đúng 3 điểm phân biệt, và các tập nghiệm này đôi một không giao nhau.
Vậy phương trình có tất cả $3\times 3=9$ nghiệm thực phân biệt. Chọn A.

Phương trình hoành độ giao điểm của $(C_m)$ với trục hoành là:
$m{x}^3-x^2-2x+8m=0⟺m(x^3+8)-(x^2+2x)=0$
$⟺m(x+2)(x^2-2x+4)-x(x+2)=0⟺(x+2)[m(x^2-2x+4)-x]=0$
$⟺[<table><tbody><tr><td>x=-2</td></tr><tr><td>g(x)=m{x}^2-(2m+1)x+4m=0(1)</td></tr></tbody></table>$.
Để $(C_m)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác $-2$:
$\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ \Delta =(2m+1{)}^2-16m^2>0\\ g(-2)=4m+2(2m+1)+4m\ne 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ -12m^2+4m+1>0\\ 12m+2\ne 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ -\frac{1}{6}<m<\frac{1}{2}\\ m\ne -\frac{1}{6}\end{array}⟺m\in \left(-\frac{1}{6};\frac{1}{2}\right)\setminus \{0\}$.
Chọn C.

Từ đồ thị ta có $f(x^2+x)=1\iff [<table><tbody><tr><td>x^2+x=-1\text{ (voˆ nghiệm)}</td></tr><tr><td>x^2+x=1\iff x=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}</td></tr><tr><td>x^2+x=2\iff x=1\text{ hoặc }x=-2</td></tr></tbody></table>$. Vậy phương trình có $4$ nghiệm thực phân biệt. Chọn đáp án C.