Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình vẽ:



Phương trình $\left|f(1-2\sin x)\right|=3$ có bao nhiêu nghiệm?

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: trên $(-\infty ;-1)$ hàm số đồng biến từ $-\infty$ đến $2$; trên $(-1;1)$ và $(1;3)$ hàm số đồng biến/giảm với tiệm cận đứng tại $x=1$ ($f\to +\infty$ khi $x\to 1^{\pm }$), giảm từ $+\infty$ xuống $-4$ tại $x=3$; trên $(3;+\infty )$ đồng biến từ $-4$ đến $+\infty$.

Đặt $t=1-2\sin x$, khi đó $t\in [-1;3]$. Phương trình $|f(t)|=3\iff f(t)=3$ hoặc $f(t)=-3$.

• $f(t)=3$: trên $(-1;3)$ hàm giảm từ $+\infty$ (khi $t\to 1^{+}$... thực tế nhánh giảm từ $+\infty$ tại $1^{+}$) xuống $-4$, nên $f(t)=3$ có đúng một nghiệm $t_1\in (1;3)$ (nhánh $(-\infty ;-1)$ chỉ đạt giá trị $<2$, không cho nghiệm). Khi đó $\sin x=\frac{1-t_1}{2}\in (-1;0)$, phương trình này có $2$ nghiệm trên $[0;2\pi )$.

• $f(t)=-3$: trên $(1;3)$ hàm giảm từ $+\infty$ xuống $-4$ nên có đúng một nghiệm $t_2\in (1;3)$ (các nhánh khác cho $t\notin [-1;3]$). Khi đó $\sin x=\frac{1-t_2}{2}\in (-1;0)$, có $2$ nghiệm trên $[0;2\pi )$.

Vậy tổng cộng phương trình có $2+2=4$ nghiệm (xét trên $[0;2\pi )$). Đáp án D.