Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để bất phương trình $\frac{{\log }_3^{2}x-3{\log }_{3}x+2}{\sqrt{m-2^x}}<0$ có nghiệm đồng thời không có quá 3 nghiệm nguyên dương?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t={\log }_{3}x$ ($x>0$). Bất phương trình $\frac{t^2-3t+2}{\sqrt{m-2^x}}<0$.

Ta có $t^2-3t+2=(t-1)(t-2)<0⟺1<t<2⟺3<x<9$.

Để bất phương trình có nghiệm, cần mẫu dương: $m-2^x>0⟺2^x<m$ với $x\in (3;9)$. Vì $2^x>8$ trên $(3;9)$ và $2^x\to 8$ khi $x\to 3^{+}$, nên bất phương trình có nghiệm (thực) khi và chỉ khi $m>8$, tức $m\ge 9$ với $m$ nguyên dương.

Số nghiệm nguyên dương: $x\in \{4,5,6,7,8\}$ và $x<{\log }_{2}m$:
- $x=4$ là nghiệm khi $m>16$;
- $x=5$ khi $m>32$; $x=6$ khi $m>64$; $x=7$ khi $m>128$; $x=8$ khi $m>256$.

Yêu cầu không quá 3 nghiệm nguyên dương: không được có $x=7$ và $x=8$ cùng xuất hiện quá mức, cụ thể cần $m\le 2^7=128$ (khi đó nhiều nhất các nghiệm $x=4,5,6$).

Vậy $9\le m\le 128$, có $128-9+1=120$ giá trị nguyên dương của $m$.

Kiểm tra: $m=9$ có nghiệm thực $x\in (3;{\log }_{2}9)$, không có nghiệm nguyên dương (0 ≤ 3) ✓; $m=128$ có đúng 3 nghiệm nguyên $x=4,5,6$ ✓; $m=129$ có 4 nghiệm nguyên $x=4,5,6,7$ ✗.

Kết luận: có 120 giá trị của $m$, đáp án A.