Cho hàm số $y=m{x}^3-x^2-2x+8m$ có đồ thị $(C_m)$. Tìm tất cả giá trị của tham số $m$ để đồ thị $(C_m)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

Phương trình hoành độ giao điểm của $(C_m)$ với trục hoành là:
$m{x}^3-x^2-2x+8m=0⟺m(x^3+8)-(x^2+2x)=0$
$⟺m(x+2)(x^2-2x+4)-x(x+2)=0⟺(x+2)[m(x^2-2x+4)-x]=0$
$⟺[\begin{array}{l}x=-2\\ g(x)=m{x}^2-(2m+1)x+4m=0(1)\end{array}$.
Để $(C_m)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác $-2$:
$\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ \Delta =(2m+1{)}^2-16m^2>0\\ g(-2)=4m+2(2m+1)+4m\ne 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ -12m^2+4m+1>0\\ 12m+2\ne 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ -\frac{1}{6}<m<\frac{1}{2}\\ m\ne -\frac{1}{6}\end{array}⟺m\in \left(-\frac{1}{6};\frac{1}{2}\right)\setminus \{0\}$.
Chọn C.