Cho hàm số $y=x^2-3x+4$ có đồ thị $(P)$ và đường thẳng $d$ có phương trình: $y=2x-m$, với $m$ là tham số.
a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị $(P)$.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho $O{A}^2+O{B}^2=57$, với $O$ là gốc tọa độ.

a) Lập bảng biến thiên đúng (0,75 điểm). Vẽ đồ thị đúng (0,75 điểm).

b) Hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ và $(P)$ là nghiệm của phương trình: $x^2-3x+4=2x-m\iff x^2-5x+m+4=0$ (1). $\Delta =25-\mathrm{4.1.}(m+4)=9-4m$. Đường thẳng $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $\iff \Delta >0\iff 9-4m>0\iff m<\frac{9}{4}$ (*).

Với điều kiện (*), gọi hai giao điểm của $d$ và $(P)$ là $A(x_1;2x_1-m),B(x_2;2x_2-m)$, trong đó $x_1,x_2$ là các nghiệm của phương trình (1). Theo định lý Viet ta có: $x_1+x_2=5,x_1{x}_2=m+4$. Ta có: $O{A}^2+O{B}^2=57\iff x_1^2+(2x_1-m{)}^2+x_2^2+(2x_2-m{)}^2=57$

$\iff 5(x_1+x_2{)}^2-10x_1{x}_2-4m(x_1+x_2)+2m^2=57\iff 5.5^2-10(m+4)-4m.5+2m^2=57$

$$\iff 2m^2-30m+28=0\iff \{\begin{array}{l}m=1\\ m=14\end{array}$$
Đối chiếu với điều kiện (*) ta nhận $m=1$ thỏa mãn đề bài.