Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai điểm $A(2;3)$, $B(-1;5)$ và đường thẳng $d:2x+y+1=0$.
a) Viết phương trình tổng quát đường thẳng $AB$.
b) Tính khoảng cách từ điểm $A(2;3)$ đến đường thẳng $d$.
c) Tìm tọa độ điểm $C$ thuộc đường thẳng $d$ và tọa độ điểm $D$ thuộc đoạn thẳng $AC$, biết rằng tam giác $ABC$ cân tại $B$ và $DC=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

a) Viết đúng PTTQ đường thẳng $AB:2x+3y-13=0$ (1,0 điểm).

b) Khoảng cách từ điểm $A(2;3)$ đến đường thẳng $d:2x+y+1=0$ bằng
$$\frac{\left|2.2+3+1\right|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}.$$ (1,5 điểm)

c) Do $C\in d$ nên tọa độ điểm $C(a;-2a-1)$.
Tam giác $ABC$ cân tại $B$ suy ra $BC=BA\iff (a+1{)}^2+(-2a-6{)}^2=3^2+2^2$
$$\iff 5a^2+26a+24=0\iff a=-4;a=\frac{-6}{5}.$$ Suy ra $C(-4;7)$, $C\left(\frac{-6}{5};\frac{7}{5}\right)$.
Điểm $C(-4;7)$ loại vì với $C(-4;7)$ thì ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng.
Vậy suy ra tọa độ điểm $C\left(\frac{-6}{5};\frac{7}{5}\right)$. (1,0 điểm)

Ta có $AC=\frac{8\sqrt{5}}{5}$; $DC=\frac{\sqrt{5}}{5}$, kết hợp với $D$ thuộc đoạn $AC$ suy ra $\overrightarrow{AC}=8\overrightarrow{DC}$. Gọi tọa độ điểm $D(x;y)$. Ta có
$$\overrightarrow{AC}=8\overrightarrow{DC}\iff \{\begin{array}{l}\frac{-16}{5}=8\left(\frac{-6}{5}-x\right)\\ \frac{-8}{5}=8\left(\frac{7}{5}-y\right)\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{-4}{5}\\ y=\frac{8}{5}\end{array}$$
Vậy ta có tọa độ điểm $D\left(\frac{-4}{5};\frac{8}{5}\right)$. (0,5 điểm)