Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Điểm cực tiểu $x_1$ và điểm cực đại $x_2$ theo định nghĩa chính là các điểm cực trị của hàm số $y=f(x)$, nên khẳng định A đúng. Khẳng định B sai vì $f(x_1),f(x_2)$ là các giá trị cực trị (cực đại, cực tiểu), không phải điểm cực trị. Các khẳng định C và D sai vì đề bài không cho biết vị trí tương đối của $x_1,x_2$ trên trục hoành hay so sánh giá trị $f(x_1),f(x_2)$ (ví dụ hàm $y=-x^3+3x$ có điểm cực tiểu $x=1$ và điểm cực đại $x=-1$, khi đó $x_1>x_2$ và $f(x_1)<f(x_2)$; còn hàm $y=x^3-3x$ có $x_1=-1<x_2=1$ và $f(x_1)>f(x_2)$). Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số:
1. $y=x^3+3x^2\Rightarrow y^{\prime }=3x^2+6x=3x(x+2)$, đổi dấu qua $x=0$ và $x=-2$ nên có cực trị.
2. $y=x^3-x\Rightarrow y^{\prime }=3x^2-1=0\Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$, $y^{\prime }$ đổi dấu nên có cực trị.
3. $y=x^4-3x^2+2\Rightarrow y^{\prime }=4x^3-6x=2x(2x^2-3)=0\Rightarrow x=0,\pm \sqrt{3/2}$, $y^{\prime }$ đổi dấu nên có cực trị.
4. $y=x^3\Rightarrow y^{\prime }=3x^2\ge 0$ với mọi $x$, không đổi dấu nên không có cực trị.
Vậy chỉ có 1 hàm số (hàm số 4) không có cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $x^2-2x\ge 0\iff x\le 0$ hoặc $x\ge 2$. Ta có $y^{\prime }=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}$. Trên mỗi khoảng xác định $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$, ta có $x-1<0$ nên $y^{\prime }<0$: hàm số nghịch biến trên từng khoảng. Tại $x=0$: hàm xác định, $y(0)=0$, hàm nghịch biến từ trái sang $x=0$ rồi (sau khoảng không xác định) tại $x=2$ hàm lại đạt giá trị $0$ và nghịch biến về phía phải. Theo cách phân loại chuẩn của chương trình, $x=0$ là điểm cực đại (giá trị lớn hơn các điểm lân cận trong miền xác định bên trái) và $x=2$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị: $x=0$ (cực đại) và $x=2$ (cực tiểu). Đáp số: 2.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $y=\frac{3x^2+13x+19}{x+3}=3x+4+\frac{7}{x+3}$ (tính chia đa thức). Khi đó $y^{\prime }=3-\frac{7}{(x+3{)}^2}$. Cho $y^{\prime }=0\Rightarrow (x+3{)}^2=7\Rightarrow x=-3\pm \sqrt{7}$. Với $x=-3+\sqrt{7}$: $y=3(-3+\sqrt{7})+4+\frac{7}{\sqrt{7}}=-5+4\sqrt{7}$. Với $x=-3-\sqrt{7}$: $y=3(-3-\sqrt{7})+4-\sqrt{7}=-5-4\sqrt{7}$. Hai điểm cực trị: $(-3+\sqrt{7};-5+4\sqrt{7})$ và $(-3-\sqrt{7};-5-4\sqrt{7})$. Hệ số góc đường thẳng qua hai điểm: $k=\frac{(-5+4\sqrt{7})-(-5-4\sqrt{7})}{(-3+\sqrt{7})-(-3-\sqrt{7})}=\frac{8\sqrt{7}}{2\sqrt{7}}=4$. Thay một điểm vào $y=4x+b$: $-5+4\sqrt{7}=4(-3+\sqrt{7})+b\Rightarrow b=7$. Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $y=4x+7$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{x^2+1}$ có $y^{\prime }=\frac{-2x}{(x^2+1{)}^2}$, $y^{\prime }=0$ khi $x=0$. Theo bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;0)$, nghịch biến trên $(0;+\infty )$, đạt cực đại (cũng là GTLN) bằng $1$ tại $x=0$. Khi $x\to \pm \infty$ thì $y\to 0$ nhưng $y>0$ với mọi $x$, nên hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 (0 không thuộc tập giá trị). Do đó: A sai vì không có GTNN bằng 0; B sai vì GTLN bằng 1 chứ không phải 0; C sai vì tồn tại GTLN bằng 1; D đúng vì hàm số có đúng một điểm cực trị (điểm cực đại $x=0$).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(t)=0,1+t^2{e}^{-kt}$ nên $f^{\prime }(t)=2t{e}^{-kt}-k{t}^2{e}^{-kt}=e^{-kt}(2t-k{t}^2)$. a) Khối lượng lớn nhất tại $t=4$ thuộc khoảng sống $(0;6)$ nên $f^{\prime }(4)=0$: đúng. b) $f^{\prime }(t)=e^{-kt}(2t-k{t}^2)\ne 2t{e}^{-kt}$: sai. c) $f^{\prime }(4)=e^{-4k}(8-16k)=0\Rightarrow k=\frac{1}{2}$: đúng. d) Mỗi cá thể sinh sản một lần ở tuổi 4 tuần (sinh 10 con) và chết ở tuổi 6 tuần. Bắt đầu 1 cá thể mới sinh tại $t=0$: các lứa sinh ra tại $t=4,8,12,16,20$ với số lượng $10,100,1000,10^4,10^5$; các lứa chết tại $t=6,10,14,18,22,26$. Tại $t=21$, chỉ các cá thể sinh ra tại $t=16$ (chết ở $t=22$) và $t=20$ (chết ở $t=26$) còn sống, tổng $10^4+10^5=110000$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khối lượng lớn nhất tại $t=4$ thuộc khoảng sống $(0;6)$ nên $f^{\prime }(4)=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(t)=2t{e}^{-kt}-k{t}^2{e}^{-kt}=e^{-kt}(2t-k{t}^2)$, không phải $2t{e}^{-kt}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(4)=e^{-4k}(8-16k)=0\Rightarrow k=\frac{1}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các lứa sinh ra tại $t=4,8,12,16,20$ với số lượng $10,100,1000,10^4,10^5$; chết tại $t=6,10,14,18,22,26$. Tại $t=21$ chỉ cá thể sinh ra tại $t=16$ và $t=20$ còn sống: $10^4+10^5=110000$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x(x+1)(x+2{)}^2$ với nghiệm $x=-2$ (nghiệm kép), $x=-1$, $x=0$. Xét dấu $f^{\prime }$: với $x<-2$, cả $x<0$ và $x+1<0$ nên $f^{\prime }(x)>0$; với $-2<x<-1$, tương tự $f^{\prime }(x)>0$; với $-1<x<0$, $x<0$, $x+1>0$ nên $f^{\prime }(x)<0$; với $x>0$, $f^{\prime }(x)>0$. Vậy $f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-1$ (từ dương sang âm: điểm cực đại) và tại $x=0$ (từ âm sang dương: điểm cực tiểu); tại $x=-2$, $f^{\prime }$ không đổi dấu nên không phải điểm cực trị. Hàm số có 2 điểm cực trị. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $x^2+2x\ge 0\iff x\le -2$ hoặc $x\ge 0$, tức $D=(-\infty ;-2]\cup [0;+\infty )$.
a) Với $x\in D$, $f^{\prime }(x)=\frac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x}}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}$, khác $\frac{2x+2}{\sqrt{x^2+2x}}$ → sai.
b) $f^{\prime }(x)=0\iff x=-1\notin D$, nên hàm số không có điểm cực trị → sai.
c) Trên $(-\infty ;-2)$: $f^{\prime }(x)<0$ (nghịch biến); trên $(0;+\infty )$: $f^{\prime }(x)>0$ (đồng biến). Trên khoảng $(-1;+\infty )$ hàm không xác định với $x\in (-1;0)$ nên không đồng biến trên cả khoảng → sai.
d) $y=\sqrt{x^2+2x}\ge 0$ và $y=0$ tại $x=0$ và $x=-2$ thuộc tập xác định, nên GTNN bằng 0 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x}}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}$, khác $\frac{2x+2}{\sqrt{x^2+2x}}$ → sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0\iff x=-1\notin D$ (vì $x^2+2x=-1<0$), hàm số không có điểm cực trị → sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$, đồng biến trên $(0;+\infty )$; trên $(-1;+\infty )$ hàm không xác định với $x\in (-1;0)$ nên không đồng biến trên cả khoảng → sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$y=\sqrt{x^2+2x}\ge 0$ và $y=0$ tại $x=0$, $x=-2$ thuộc tập xác định, nên GTNN bằng 0 → đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-4x+1=0\iff x=\frac{1}{3}$ hoặc $x=1$. Vì hệ số $a=3>0$, hàm đạt cực đại tại $b=\frac{1}{3}$ và cực tiểu tại $a=1$. Do đó $2025a-2026b=2025\cdot 1-2026\cdot \frac{1}{3}=2025-\frac{2026}{3}=\frac{6075-2026}{3}=\frac{4049}{3}$. Lưu ý: nếu đề hiểu $a=\frac{1}{3},b=1$ (theo thứ tự nghiệm) thì kết quả là $675-2026=-1351$; nhưng theo định nghĩa cực tiểu tại $a$, cực đại tại $b$ thì $a=1,b=\frac{1}{3}$, kết quả $\frac{4049}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ (giá trị $-2$) và đạt cực đại tại $x=2$ (giá trị $2$). Vậy hàm số $y=f(x)$ đạt cực đại tại điểm $x=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số $y=f(x)$ là đường cong bậc ba với một điểm cực đại tại $x=-2$ (giá trị $y=2$) và một điểm cực tiểu tại $x=0$ (giá trị $y=-2$). Tại hai điểm này, đồ thị đổi chiều đi lên thành đi xuống (cực đại) và đi xuống thành đi lên (cực tiểu), nên hàm số có đúng 2 điểm cực trị. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f(-2)\approx -4$, $f$ đạt cực đại $f(x_1)=2$ (với $x_1<0$), $f(0)=0$, $f$ đạt cực tiểu $f(x_2)=-2$ (với $x_2>0$), $f(2)=4$. Xét $g(x)=|f(x)-1|$: $g(-2)=|-4-1|=5$; $g(x_1)=|2-1|=1$; $g(0)=1$; $g(x_2)=|-2-1|=3$; $g(2)=|4-1|=3$. Hàm $g$ đạt cực đại tại hai đầu mút $x=-2$ (giá trị 5) và $x=2$ (giá trị 3), và tại $x=x_2$ (giá trị 3, vì $f$ đổi chiều giảm sang tăng qua mức $f=1$... thực chất $f(x_2)=-2<1$ nên $g$ có cực đại cục bộ 3 tại đó). Tổng các giá trị cực đại: $5+3+3=11$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ trên $[-2;3]$: $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-1$, $x=1$, $x=2$ và một điểm sau $x=2$. Xét dấu: trên $(-2;-1)$ thì $f^{\prime }(x)>0$, trên $(-1;1)$ thì $f^{\prime }(x)<0$ (đồ thị xuống dưới trục hoành, chạm giá trị $-3$), nên $x=-1$ là điểm cực đại. Tại $x=1$ và $x=2$, đồ thị $f^{\prime }$ chỉ chạm trục hoành rồi đi xuống lại (dấu $f^{\prime }$ không đổi, vẫn âm), nên không phải điểm cực trị. Sau $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương, cho thêm 1 điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $h(t)=-\frac{1}{3}{t}^3+5t^2+24t$ với $t>0$. Ta có $h^{\prime }(t)=-t^2+10t+24$. Cho $h^{\prime }(t)=0$ suy ra $t^2-10t-24=0$, nên $t=-2$ (loại vì $t>0$) hoặc $t=12$. Vì $h^{\prime }(t)>0$ khi $0<t<12$ và $h^{\prime }(t)<0$ khi $t>12$, mực nước lên cao nhất tại $t=12$ giờ, tức lúc 8 giờ + 12 giờ = 20 giờ. Phải thông báo trước 5 giờ nên cần thông báo lúc $20-5=15$ giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=-4x^3+4x=-4x(x-1)(x+1)$. $y^{\prime }=0\iff x=0,x=\pm 1$. Xét dấu $y^{\prime }$: trên $(-\infty ;-1)$, $y^{\prime }>0$; trên $(-1;0)$, $y^{\prime }<0$; trên $(0;1)$, $y^{\prime }>0$; trên $(1;+\infty )$, $y^{\prime }<0$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và $x=1$ với $y(-1)=y(1)=-1+2+10=11$, tức hai điểm cực đại $(-1;11)$ và $(1;11)$; hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ với $y(0)=10$, tức điểm cực tiểu $(0;10)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tại $x=-5$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=-5$ là điểm cực tiểu. Tại $x=1$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=1$ là điểm cực đại. Tại $x=\sqrt{3}$, hàm số không xác định (tiệm cận đứng, $y\to -\infty$) nên không phải điểm cực trị. Vậy hàm số có $2$ điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=e^x-x+3$, có $y^{\prime }=e^x-1$. a) $y^{\prime }<0$ khi $x<0$ và $y^{\prime }>0$ khi $x>0$, nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;0)$ và đồng biến trên $(0;+\infty )$, không nghịch biến trên $\mathbb{R}$ → sai. b) $y^{\prime }=0\iff x=0$ và $y^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương, nên hàm số đạt cực tiểu (không phải cực đại) tại $x=0$ → sai. c) Tại $x=0$: $y=e^0-0+3=4$, đồ thị cắt trục tung tại $(0;4)$ → đúng. d) Tại $x=0$ ta có $y=4\ne 0$, nên đồ thị không đi qua gốc tọa độ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=e^x-1$ đổi dấu qua $x=0$: nghịch biến trên $(-\infty ;0)$, đồng biến trên $(0;+\infty )$, nên không nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=0$ tại $x=0$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$, không phải cực đại.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y(0)=e^0-0+3=4$, đồ thị cắt trục tung tại $(0;4)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=0$ thì $y=4\ne 0$, nên đồ thị không đi qua gốc tọa độ.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2+x-5}{x-2}$, xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Tính đạo hàm: $f^{\prime }(x)=\frac{(2x+1)(x-2)-(x^2+x-5)}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}$. Cho $f^{\prime }(x)=0$ được $x=1$ hoặc $x=3$ (đều thuộc tập xác định). Dấu đạo hàm: $f^{\prime }>0$ khi $x<1$, $f^{\prime }<0$ khi $1<x<3$ (và $x\ne 2$), $f^{\prime }>0$ khi $x>3$, nên $x=1$ là điểm cực đại, $x=3$ là điểm cực tiểu. Giá trị tương ứng: $f(1)=\frac{1+1-5}{1-2}=3$ và $f(3)=\frac{9+3-5}{3-2}=7$. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị $A(1;3)$ và $B(3;7)$ là $AB=\sqrt{(3-1{)}^2+(7-3{)}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=3$, và $f(3)=-4$. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm $(3;-4)$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=(x-1)(x-2{)}^2(x-3{)}^3(x-4{)}^4$. Tại $x=1$: lũy thừa lẻ (mũ 1), $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=1$ là điểm cực đại. Tại $x=2$: lũy thừa chẵn (mũ 2), $f^{\prime }$ không đổi dấu, không phải cực trị. Tại $x=3$: lũy thừa lẻ (mũ 3), $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=3$ là điểm cực tiểu. Tại $x=4$: lũy thừa chẵn (mũ 4), $f^{\prime }$ không đổi dấu, không phải cực trị. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị.