Khối lượng của một cá thể sinh vật $X$ theo thời gian $t$ tuần $(t\ge 0)$ cho bởi công thức $f(t)=0,1+t^2{e}^{-kt}$ ($k\in \mathbb{R}$, đơn vị tính bằng microgram). Biết rằng sinh vật $X$ chỉ sống được đúng 6 tuần và khối lượng của nó lớn nhất tại thời điểm $t=4$, đúng lúc đó nó sinh sản.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(t)=0,1+t^2{e}^{-kt}$ nên $f^{\prime }(t)=2t{e}^{-kt}-k{t}^2{e}^{-kt}=e^{-kt}(2t-k{t}^2)$. a) Khối lượng lớn nhất tại $t=4$ thuộc khoảng sống $(0;6)$ nên $f^{\prime }(4)=0$: đúng. b) $f^{\prime }(t)=e^{-kt}(2t-k{t}^2)\ne 2t{e}^{-kt}$: sai. c) $f^{\prime }(4)=e^{-4k}(8-16k)=0\Rightarrow k=\frac{1}{2}$: đúng. d) Mỗi cá thể sinh sản một lần ở tuổi 4 tuần (sinh 10 con) và chết ở tuổi 6 tuần. Bắt đầu 1 cá thể mới sinh tại $t=0$: các lứa sinh ra tại $t=4,8,12,16,20$ với số lượng $10,100,1000,10^4,10^5$; các lứa chết tại $t=6,10,14,18,22,26$. Tại $t=21$, chỉ các cá thể sinh ra tại $t=16$ (chết ở $t=22$) và $t=20$ (chết ở $t=26$) còn sống, tổng $10^4+10^5=110000$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khối lượng lớn nhất tại $t=4$ thuộc khoảng sống $(0;6)$ nên $f^{\prime }(4)=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(t)=2t{e}^{-kt}-k{t}^2{e}^{-kt}=e^{-kt}(2t-k{t}^2)$, không phải $2t{e}^{-kt}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(4)=e^{-4k}(8-16k)=0\Rightarrow k=\frac{1}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các lứa sinh ra tại $t=4,8,12,16,20$ với số lượng $10,100,1000,10^4,10^5$; chết tại $t=6,10,14,18,22,26$. Tại $t=21$ chỉ cá thể sinh ra tại $t=16$ và $t=20$ còn sống: $10^4+10^5=110000$.