Trong một cái ao, có bốn chiếc lá sen được đánh số thứ tự 1, 2, 3, 4. Ban đầu, một con ếch ngồi trên lá số 1. Trong mỗi lần nhảy, nó nhảy đến một lá bất kì trong ba lá khác với lá đang ngồi. Gọi $a_n$ là số cách nhảy mà sau $n$ lần, con ếch về lại lá số 1; gọi $b_n$ là số cách nhảy mà sau $n$ lần, con ếch không về lại lá số 1.

(AI giải đề cho tôi)
Con ếch nhảy từ mỗi lá đến 3 lá khác nên sau n lần nhảy có 3^n cách: a_n + b_n = 3^n. a) Sau 2 lần về lá 1: nhảy 1→x (x∈{2,3,4}) rồi x→1, có 3 cách nên a_2=3, đúng. b) b_2 = 3^2 - a_2 = 9-3 = 6, đúng. c) Để sau n+1 lần nhảy ở lá 1, sau n lần ếch phải ở lá khác 1 (b_n cách) và từ đó nhảy về lá 1 (đúng 1 cách), nên a_{n+1} = b_n. Vì a_1 = 0 (sau 1 lần nhảy không thể ở lá 1) nên b_n - a_1 = b_n = a_{n+1}, mệnh đề đúng. d) Với hệ thức a_{n+1}=b_n, b_{n+1}=3a_n+2b_n (từ lá khác 1 có 1 cách về lá 1, 2 cách sang lá khác 1): a_1=0, b_1=3; a_2=3, b_2=6; a_3=6, b_3=21; a_4=21, b_4=60; a_5=60, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nhảy 1→x rồi x→1 với x∈{2,3,4}: a_2=3.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách sau 2 lần nhảy là 3^2=9, nên b_2=9-3=6.
c) (AI giải đề cho tôi)
a_{n+1}=b_n vì từ mỗi trạng thái khác lá 1 chỉ có đúng 1 cách nhảy về lá 1; mà a_1=0 nên b_n - a_1 = b_n = a_{n+1}.
d) (AI giải đề cho tôi)
Truy hồi a_{n+1}=b_n, b_{n+1}=3a_n+2b_n cho a_2=3, a_3=6, a_4=21, a_5=60.