Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $x^4-9=(x^2-3)(x^2+3)$, nên $f^{\prime }(x)=(x-2)(x^2-3{)}^2(x^2+3)$. Vì $x^2+3>0$ với mọi $x$ và $(x^2-3{)}^2\ge 0$, dấu của $f^{\prime }(x)$ chỉ phụ thuộc vào $(x-2)$ trừ tại các nghiệm bội chẵn $x=\pm \sqrt{3}$ (tại đó $f^{\prime }$ không đổi dấu). Xét dấu: với $x<2$ (khác $\pm \sqrt{3}$) thì $f^{\prime }(x)<0$; với $x>2$ thì $f^{\prime }(x)>0$. Vậy $f^{\prime }$ chỉ đổi dấu tại $x=2$, do đó hàm số có đúng $1$ điểm cực trị (cực tiểu tại $x=2$). Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x^2(x-2)(x^2-x-2)(x+1{)}^4=x^2(x-2{)}^2(x+1{)}^5$. Vì $x^2\ge 0$ và $(x-2{)}^2\ge 0$ nên dấu của $f^{\prime }(x)$ hoàn toàn do dấu của $(x+1{)}^5$, tức dấu của $x+1$. Do đó $f^{\prime }(x)<0$ khi $x<-1$ và $f^{\prime }(x)>0$ khi $x>-1$. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ và đồng biến trên $(-1;+\infty )$, nên $f$ đạt cực tiểu tại $x=-1$; tại $x=0$ và $x=2$ đạo hàm đổi dấu không qua (không đổi dấu) nên không phải cực trị. Vậy tổng các điểm cực trị là $-1$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: f đạt cực đại tại x=2 với giá trị 3, cực tiểu tại x=4 với giá trị -2. a) Đúng: hàm số có 2 điểm cực trị (x=2 và x=4). b) Đúng: tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu là 3+(-2)=1. c) Sai: đường thẳng qua (2;3) và (4;-2) có hệ số góc (-2-3)/(4-2)=-5/2, phương trình: y-3=(-5/2)(x-2) ⟺ 5x+2y-16=0, không phải x+2y-8=0 (đường này chỉ qua (2;3) nhưng tại (4;-2) cho 4-4-8=-8≠0). d) Đúng: y=f(x²) có y'=2x·f'(x²); y'=0 khi x=0 hoặc x²=2 hoặc x²=4 (vì f'(x) đổi dấu tại 2 và 4), tức x=0, ±√2, ±2 — tất cả đều là điểm cực trị vì f' đổi dấu qua các điểm đó, nên đồ thị có 5 điểm cực trị.
a) (AI giải đề cho tôi)
f' đổi dấu từ + sang - tại x=2 (cực đại) và từ - sang + tại x=4 (cực tiểu), nên đồ thị có 2 điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực đại bằng 3 tại x=2, giá trị cực tiểu bằng -2 tại x=4; tổng 3+(-2)=1.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua (2;3) và (4;-2) có phương trình 5x+2y-16=0, không phải x+2y-8=0 vì (4;-2) không thỏa x+2y-8=0.
d) (AI giải đề cho tôi)
y'=2x·f'(x²)=0 khi x=0 hoặc x²∈{2;4}, cho x=0, ±√2, ±2; do f' đổi dấu tại 2 và 4 nên cả 5 điểm đều là cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $x^2-2x\ge 0\iff x\le 0$ hoặc $x\ge 2$. Ta có $y^{\prime }=\frac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}$. Trên mỗi khoảng xác định $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$, ta có $x-1<0$ nên $y^{\prime }<0$: hàm số nghịch biến trên từng khoảng. Tại $x=0$: hàm xác định, $y(0)=0$, hàm nghịch biến từ trái sang $x=0$ rồi (sau khoảng không xác định) tại $x=2$ hàm lại đạt giá trị $0$ và nghịch biến về phía phải. Theo cách phân loại chuẩn của chương trình, $x=0$ là điểm cực đại (giá trị lớn hơn các điểm lân cận trong miền xác định bên trái) và $x=2$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị: $x=0$ (cực đại) và $x=2$ (cực tiểu). Đáp số: 2.

(AI giải đề cho tôi)
Viết $y=\frac{3x^2+13x+19}{x+3}=3x+4+\frac{7}{x+3}$ (tính chia đa thức). Khi đó $y^{\prime }=3-\frac{7}{(x+3{)}^2}$. Cho $y^{\prime }=0\Rightarrow (x+3{)}^2=7\Rightarrow x=-3\pm \sqrt{7}$. Với $x=-3+\sqrt{7}$: $y=3(-3+\sqrt{7})+4+\frac{7}{\sqrt{7}}=-5+4\sqrt{7}$. Với $x=-3-\sqrt{7}$: $y=3(-3-\sqrt{7})+4-\sqrt{7}=-5-4\sqrt{7}$. Hai điểm cực trị: $(-3+\sqrt{7};-5+4\sqrt{7})$ và $(-3-\sqrt{7};-5-4\sqrt{7})$. Hệ số góc đường thẳng qua hai điểm: $k=\frac{(-5+4\sqrt{7})-(-5-4\sqrt{7})}{(-3+\sqrt{7})-(-3-\sqrt{7})}=\frac{8\sqrt{7}}{2\sqrt{7}}=4$. Thay một điểm vào $y=4x+b$: $-5+4\sqrt{7}=4(-3+\sqrt{7})+b\Rightarrow b=7$. Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $y=4x+7$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(t)=0,1+t^2{e}^{-kt}$ nên $f^{\prime }(t)=2t{e}^{-kt}-k{t}^2{e}^{-kt}=e^{-kt}(2t-k{t}^2)$. a) Khối lượng lớn nhất tại $t=4$ thuộc khoảng sống $(0;6)$ nên $f^{\prime }(4)=0$: đúng. b) $f^{\prime }(t)=e^{-kt}(2t-k{t}^2)\ne 2t{e}^{-kt}$: sai. c) $f^{\prime }(4)=e^{-4k}(8-16k)=0\Rightarrow k=\frac{1}{2}$: đúng. d) Mỗi cá thể sinh sản một lần ở tuổi 4 tuần (sinh 10 con) và chết ở tuổi 6 tuần. Bắt đầu 1 cá thể mới sinh tại $t=0$: các lứa sinh ra tại $t=4,8,12,16,20$ với số lượng $10,100,1000,10^4,10^5$; các lứa chết tại $t=6,10,14,18,22,26$. Tại $t=21$, chỉ các cá thể sinh ra tại $t=16$ (chết ở $t=22$) và $t=20$ (chết ở $t=26$) còn sống, tổng $10^4+10^5=110000$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khối lượng lớn nhất tại $t=4$ thuộc khoảng sống $(0;6)$ nên $f^{\prime }(4)=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(t)=2t{e}^{-kt}-k{t}^2{e}^{-kt}=e^{-kt}(2t-k{t}^2)$, không phải $2t{e}^{-kt}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(4)=e^{-4k}(8-16k)=0\Rightarrow k=\frac{1}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Các lứa sinh ra tại $t=4,8,12,16,20$ với số lượng $10,100,1000,10^4,10^5$; chết tại $t=6,10,14,18,22,26$. Tại $t=21$ chỉ cá thể sinh ra tại $t=16$ và $t=20$ còn sống: $10^4+10^5=110000$.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $x^2+2x\ge 0\iff x\le -2$ hoặc $x\ge 0$, tức $D=(-\infty ;-2]\cup [0;+\infty )$.
a) Với $x\in D$, $f^{\prime }(x)=\frac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x}}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}$, khác $\frac{2x+2}{\sqrt{x^2+2x}}$ → sai.
b) $f^{\prime }(x)=0\iff x=-1\notin D$, nên hàm số không có điểm cực trị → sai.
c) Trên $(-\infty ;-2)$: $f^{\prime }(x)<0$ (nghịch biến); trên $(0;+\infty )$: $f^{\prime }(x)>0$ (đồng biến). Trên khoảng $(-1;+\infty )$ hàm không xác định với $x\in (-1;0)$ nên không đồng biến trên cả khoảng → sai.
d) $y=\sqrt{x^2+2x}\ge 0$ và $y=0$ tại $x=0$ và $x=-2$ thuộc tập xác định, nên GTNN bằng 0 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{2x+2}{2\sqrt{x^2+2x}}=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x}}$, khác $\frac{2x+2}{\sqrt{x^2+2x}}$ → sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0\iff x=-1\notin D$ (vì $x^2+2x=-1<0$), hàm số không có điểm cực trị → sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Hàm nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$, đồng biến trên $(0;+\infty )$; trên $(-1;+\infty )$ hàm không xác định với $x\in (-1;0)$ nên không đồng biến trên cả khoảng → sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$y=\sqrt{x^2+2x}\ge 0$ và $y=0$ tại $x=0$, $x=-2$ thuộc tập xác định, nên GTNN bằng 0 → đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f(-2)\approx -4$, $f$ đạt cực đại $f(x_1)=2$ (với $x_1<0$), $f(0)=0$, $f$ đạt cực tiểu $f(x_2)=-2$ (với $x_2>0$), $f(2)=4$. Xét $g(x)=|f(x)-1|$: $g(-2)=|-4-1|=5$; $g(x_1)=|2-1|=1$; $g(0)=1$; $g(x_2)=|-2-1|=3$; $g(2)=|4-1|=3$. Hàm $g$ đạt cực đại tại hai đầu mút $x=-2$ (giá trị 5) và $x=2$ (giá trị 3), và tại $x=x_2$ (giá trị 3, vì $f$ đổi chiều giảm sang tăng qua mức $f=1$... thực chất $f(x_2)=-2<1$ nên $g$ có cực đại cục bộ 3 tại đó). Tổng các giá trị cực đại: $5+3+3=11$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $h(t)=-\frac{1}{3}{t}^3+5t^2+24t$ với $t>0$. Ta có $h^{\prime }(t)=-t^2+10t+24$. Cho $h^{\prime }(t)=0$ suy ra $t^2-10t-24=0$, nên $t=-2$ (loại vì $t>0$) hoặc $t=12$. Vì $h^{\prime }(t)>0$ khi $0<t<12$ và $h^{\prime }(t)<0$ khi $t>12$, mực nước lên cao nhất tại $t=12$ giờ, tức lúc 8 giờ + 12 giờ = 20 giờ. Phải thông báo trước 5 giờ nên cần thông báo lúc $20-5=15$ giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2+x-5}{x-2}$, xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Tính đạo hàm: $f^{\prime }(x)=\frac{(2x+1)(x-2)-(x^2+x-5)}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}$. Cho $f^{\prime }(x)=0$ được $x=1$ hoặc $x=3$ (đều thuộc tập xác định). Dấu đạo hàm: $f^{\prime }>0$ khi $x<1$, $f^{\prime }<0$ khi $1<x<3$ (và $x\ne 2$), $f^{\prime }>0$ khi $x>3$, nên $x=1$ là điểm cực đại, $x=3$ là điểm cực tiểu. Giá trị tương ứng: $f(1)=\frac{1+1-5}{1-2}=3$ và $f(3)=\frac{9+3-5}{3-2}=7$. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị $A(1;3)$ và $B(3;7)$ là $AB=\sqrt{(3-1{)}^2+(7-3{)}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có: $x^2+(m+1)x+m+1=(x+1)(x+m)+1$, nên với $x\ne -1$: $$y=x+m+\frac{1}{x+1}.$$ Hàm số xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ và $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}$. Cho $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$; cả hai giá trị đều khác $-1$ nên luôn là hai điểm cực trị (đổi dấu đạo hàm qua mỗi điểm) với mọi $m$. Vậy hàm số luôn có cực trị. Tọa độ hai điểm cực trị: tại $x=0$: $y(0)=m+1$; tại $x=-2$: $y(-2)=-2+m+\frac{1}{-1}=m-3$. Khoảng cách: $$d=\sqrt{(0-(-2){)}^2+((m+1)-(m-3){)}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}.$$ Vậy với mọi $m$, hàm số luôn có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng $\sqrt{20}$. (đpcm)

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $f^{\prime }(x)$ cắt/trục hoành tại các điểm $x=-1$, $x=0$, $x=2$. Quan sát dấu của $f^{\prime }$: tại $x=-1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên $f$ có cực tiểu tại $x=-1$. Tại $x=0$, đồ thị $f^{\prime }$ tiếp xúc trục hoành (như parabol với đỉnh tại $O$), $f^{\prime }$ không đổi dấu (dương hai bên), nên không phải điểm cực trị. Tại $x=2$, đồ thị $f^{\prime }$ cũng chạm trục hoành rồi đi lên, $f^{\prime }$ không đổi dấu, nên không phải điểm cực trị. Vậy hàm số $f(x)$ có đúng 1 điểm cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ cắt trục hoành tại một điểm âm (đổi dấu từ âm sang dương) và tiếp xúc trục hoành tại $x=0$ (không đổi dấu). Do đó $f(x)$ có đúng 1 điểm cực trị. Với $g(x)=f(x+1)$ thì $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x+1)$, đồ thị chỉ dịch ngang nên số lần đổi dấu của $g^{\prime }$ cũng bằng 1. Vậy $g(x)$ có 1 cực trị trên $K$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=0$ và $x=2$; $f$ giảm trên $(-\infty ;0)$, tăng trên $(0;2)$, giảm trên $(2;+\infty )$; $f(0)=-1$ (cực tiểu), $f(2)=3$ (cực đại), ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=\pm \infty$.

a) Đúng: hàm số có 2 điểm cực trị là $x=0$ và $x=2$.

b) Đúng: giá trị cực đại $y_{CĐ}=f(2)=3$.

c) Sai: nếu đồ thị có tâm đối xứng thì tâm phải là trung điểm của điểm cực tiểu $(0;-1)$ và điểm cực đại $(2;3)$, tức $I(1;1)$, không phải $I(1;-1)$.

d) Sai: xét $f(x)=1$. Trên $(-\infty ;0)$: $f$ giảm từ $+\infty$ xuống $-1$ nên có 1 nghiệm; trên $(0;2)$: $f$ tăng từ $-1$ lên $3$ nên có 1 nghiệm; trên $(2;+\infty )$: $f$ giảm từ $3$ xuống $-\infty$ nên có 1 nghiệm. Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt, không phải 2.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=0$ tại $x=0$ và $x=2$ với dấu đổi chiều biến thiên, nên hàm có 2 điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=2$ hàm đạt cực đại với giá trị $f(2)=3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng (nếu có) phải là trung điểm của điểm cực tiểu $(0;-1)$ và điểm cực đại $(2;3)$, tức là $(1;1)$, không phải $I(1;-1)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên mỗi khoảng $(-\infty ;0)$, $(0;2)$, $(2;+\infty )$, đường thẳng $y=1$ đều cắt đồ thị đúng 1 lần (vì $1$ nằm giữa giá trị hai đầu của mỗi khoảng), nên phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\frac{x^2+x-m}{x-2}$, TXĐ $\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{x^2-4x+m-2}{(x-2{)}^2}$.
a) Sai: hàm số có tiệm cận đứng $x=2$ nên không thể nghịch biến trên $\mathbb{R}$; hơn nữa $f^{\prime }$ đổi dấu qua các nghiệm của $x^2-4x+m-2=0$ (khi có nghiệm).
b) Đúng: với $m=5$, $f^{\prime }(x)=\frac{x^2-4x+3}{(x-2{)}^2}=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2{)}^2}$. Trên $(3;+\infty )$ ta có $f^{\prime }(x)>0$ nên hàm đồng biến trên khoảng này.
c) Sai: hàm có hai điểm cực trị khi phương trình $x^2-4x+m-2=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $2$, tức $\Delta =16-4(m-2)=24-4m>0\iff m<6$ (với $m<6$ nghiệm khác 2 tự động). Vậy điều kiện là $m<6$, không phải $m>6$.
d) Sai: chia đa thức $f(x)=x+3+\frac{6-m}{x-2}$. Tại điểm cực trị $x_0$ có $x_0^2-4x_0+m-2=0\Rightarrow m=-x_0^2+4x_0+2$, suy ra $6-m=(x_0-2{)}^2$ và $y_0=x_0+3+(x_0-2)=2x_0+1$. Vậy hai điểm cực trị $A,B$ nằm trên đường thẳng $AB:2x-y+1=0$. Khoảng cách từ $O(0;0)$ đến $AB$ là $d=\frac{1}{\sqrt{5}}\ne \frac{3}{\sqrt{5}}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số có tiệm cận đứng $x=2$ và $f^{\prime }(x)=\frac{x^2-4x+m-2}{(x-2{)}^2}$ đổi dấu, nên hàm không nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=5$: $f^{\prime }(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2{)}^2}>0$ trên $(3;+\infty )$ nên hàm đồng biến trên khoảng này.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm có hai điểm cực trị khi $\Delta =24-4m>0\iff m<6$, không phải $m>6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị nằm trên đường thẳng $y=2x+1$, khoảng cách từ $O$ đến $AB$ là $\frac{1}{\sqrt{5}}\ne \frac{3}{\sqrt{5}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $f(-1)=3$, $f(1)=-1$, $f(0)=1$, và $f^{\prime }(\pm 1)=0$. Với $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$: $d=1$; $f(1)=a+b+c+1=-1\Rightarrow a+b+c=-2$; $f(-1)=-a+b-c+1=3\Rightarrow -a+b-c=2$. Cộng lại được $b=0$, suy ra $a+c=-2$. Vì $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+c$ có nghiệm $x=\pm 1$ nên $3a+c=0\Rightarrow c=-3a$, do đó $a-3a=-2\Rightarrow a=1,c=-3$. Vậy $f(x)=x^3-3x+1$.

a) Sai: hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ (cực đại tại $x=-1$).

b) Đúng: $\max f=3$, $\min f=-1$, đường thẳng $y=2$ nằm giữa $-1$ và $3$ nên cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt.

c) Sai: hàm số là $f(x)=x^3-3x+1$, không phải $x^3-3x+2$ (vì $f(0)=1$).

d) Đúng: $y=f(4-x)+1$ đạt cực đại khi $4-x=-1\Rightarrow x=5$, giá trị $y=f(-1)+1=3+1=4$, nên điểm cực đại là $(5;4)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ (giá trị 3) và cực tiểu tại $x=1$ (giá trị -1). Thực tế $f(x)=x^3-3x+1$ nên $f^{\prime }(x)=3x^2-3$, cực tiểu tại $x=1$, không phải $x=-1$. Phát biểu sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cực đại $f(-1)=3$, cực tiểu $f(1)=-1$. Vì $-1<2<3$, phương trình $f(x)=2$ có 3 nghiệm phân biệt. Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Xác định từ đồ thị: $f(0)=1$ nhưng $x^3-3x+2$ tại $x=0$ bằng 2. Hàm số đúng là $f(x)=x^3-3x+1$. Phát biểu sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=f(4-x)+1$ đạt cực đại khi $4-x=-1\Rightarrow x=5$, khi đó $y=f(-1)+1=3+1=4$. Điểm cực đại là $(5;4)$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=mx+\frac{1}{x}$ có $y^{\prime }=m-\frac{1}{x^2}$. Hàm số có cực trị khi và chỉ khi $m>0$; khi đó $y^{\prime }=0\iff x^2=\frac{1}{m}\iff x=\pm \frac{1}{\sqrt{m}}$. Vì $y^{\prime \prime }=\frac{2}{x^3}>0$ tại $x=\frac{1}{\sqrt{m}}>0$ nên điểm cực tiểu là $\left(\frac{1}{\sqrt{m}},2\sqrt{m}\right)$ (vì $y=\frac{m}{\sqrt{m}}+\sqrt{m}=2\sqrt{m}$). Tiệm cận xiên của đồ thị là $y=mx$, tức đường thẳng $mx-y=0$. Khoảng cách từ điểm cực tiểu đến tiệm cận xiên: $$d=\frac{\left|m\cdot \frac{1}{\sqrt{m}}-2\sqrt{m}\right|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m^2+1}}.$$ Theo đề bài $d=\frac{1}{\sqrt{2}}$: $$\frac{m}{m^2+1}=\frac{1}{2}\iff m^2-2m+1=0\iff m=1.$$ Thử lại: $m=1>0$ thỏa điều kiện có cực trị, điểm cực tiểu $(1,2)$, khoảng cách đến $y=x$ là $\frac{|1-2|}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ đúng. Vậy $m=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x+m)(x+m)-(x^2+mx+1)}{(x+m{)}^2}=\frac{x^2+2mx+m^2-1}{(x+m{)}^2}$.
Hàm đạt cực tiểu tại $x=2$ nên $y^{\prime }(2)=0$: $4+4m+m^2-1=0\iff m^2+4m+3=0\iff m=-1$ hoặc $m=-3$ (cả hai đều thỏa $2+m\ne 0$).
- Với $m=-1$: $y^{\prime }=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. $y^{\prime }>0$ khi $x<0$, $y^{\prime }<0$ khi $0<x<2$, $y^{\prime }>0$ khi $x>2$ (kể cả qua $x=1$ dấu của $y^{\prime }$ không đổi vì mẫu dương). Vậy hàm đạt cực đại tại $x=0$ và cực tiểu tại $x=2$: thỏa mãn.
- Với $m=-3$: $y^{\prime }=\frac{(x-2)(x-4)}{(x+3{)}^2}$. $y^{\prime }>0$ khi $x<2$, $y^{\prime }<0$ khi $2<x<4$, $y^{\prime }>0$ khi $x>4$. Vậy hàm đạt cực đại tại $x=2$: không thỏa mãn.
Kết luận: $m=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $g(x)=f(x)-x$ nên $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-1$. Điểm cực trị của $g$ là nghiệm của phương trình $f^{\prime }(x)=1$ mà tại đó $g^{\prime }$ đổi dấu, tức là đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ cắt (không tiếp xúc) đường thẳng $y=1$. Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$: nhánh trái đi từ $+\infty$ xuống đạt cực tiểu bằng $0$ tại $x=-3$, nên cắt đường thẳng $y=1$ đúng $1$ lần; sau đó $f^{\prime }$ tăng từ $0$ lên cực đại bằng $2$, cắt $y=1$ đúng $1$ lần; rồi $f^{\prime }$ giảm từ $2$ xuống giá trị âm (cực tiểu trong khoảng $(0;3)$), cắt $y=1$ đúng $1$ lần; cuối cùng với $x>3$, $f^{\prime }$ tăng từ giá trị âm lên $+\infty$ (đi qua $0$ tại $x=3$), nên cắt đường thẳng $y=1$ đúng $1$ lần nữa. Vậy phương trình $f^{\prime }(x)=1$ có đúng $4$ nghiệm phân biệt, tại mỗi nghiệm đồ thị cắt đường thẳng $y=1$ (không tiếp xúc) nên $g^{\prime }$ đổi dấu. Hàm số $g(x)$ có $4$ điểm cực trị.