Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{x^2+mx+1}{x+m}$ đạt cực tiểu tại $x=2$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x+m)(x+m)-(x^2+mx+1)}{(x+m{)}^2}=\frac{x^2+2mx+m^2-1}{(x+m{)}^2}$.
Hàm đạt cực tiểu tại $x=2$ nên $y^{\prime }(2)=0$: $4+4m+m^2-1=0\iff m^2+4m+3=0\iff m=-1$ hoặc $m=-3$ (cả hai đều thỏa $2+m\ne 0$).
- Với $m=-1$: $y^{\prime }=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. $y^{\prime }>0$ khi $x<0$, $y^{\prime }<0$ khi $0<x<2$, $y^{\prime }>0$ khi $x>2$ (kể cả qua $x=1$ dấu của $y^{\prime }$ không đổi vì mẫu dương). Vậy hàm đạt cực đại tại $x=0$ và cực tiểu tại $x=2$: thỏa mãn.
- Với $m=-3$: $y^{\prime }=\frac{(x-2)(x-4)}{(x+3{)}^2}$. $y^{\prime }>0$ khi $x<2$, $y^{\prime }<0$ khi $2<x<4$, $y^{\prime }>0$ khi $x>4$. Vậy hàm đạt cực đại tại $x=2$: không thỏa mãn.
Kết luận: $m=-1$.