Cho hàm số $y=mx+\frac{1}{x}$. Tìm $m$ để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến tiệm cận xiên bằng $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=mx+\frac{1}{x}$ có $y^{\prime }=m-\frac{1}{x^2}$. Hàm số có cực trị khi và chỉ khi $m>0$; khi đó $y^{\prime }=0\iff x^2=\frac{1}{m}\iff x=\pm \frac{1}{\sqrt{m}}$. Vì $y^{\prime \prime }=\frac{2}{x^3}>0$ tại $x=\frac{1}{\sqrt{m}}>0$ nên điểm cực tiểu là $\left(\frac{1}{\sqrt{m}},2\sqrt{m}\right)$ (vì $y=\frac{m}{\sqrt{m}}+\sqrt{m}=2\sqrt{m}$). Tiệm cận xiên của đồ thị là $y=mx$, tức đường thẳng $mx-y=0$. Khoảng cách từ điểm cực tiểu đến tiệm cận xiên: $$d=\frac{\left|m\cdot \frac{1}{\sqrt{m}}-2\sqrt{m}\right|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m^2+1}}.$$ Theo đề bài $d=\frac{1}{\sqrt{2}}$: $$\frac{m}{m^2+1}=\frac{1}{2}\iff m^2-2m+1=0\iff m=1.$$ Thử lại: $m=1>0$ thỏa điều kiện có cực trị, điểm cực tiểu $(1,2)$, khoảng cách đến $y=x$ là $\frac{|1-2|}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ đúng. Vậy $m=1$.