Cho hàm số $y=\frac{x^2+(m+1)x+m+1}{x+1}$. Chứng minh rằng với mọi $m$ thì hàm số luôn có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng $\sqrt{20}$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có: $x^2+(m+1)x+m+1=(x+1)(x+m)+1$, nên với $x\ne -1$: $$y=x+m+\frac{1}{x+1}.$$ Hàm số xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$ và $y^{\prime }=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}$. Cho $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=-2$; cả hai giá trị đều khác $-1$ nên luôn là hai điểm cực trị (đổi dấu đạo hàm qua mỗi điểm) với mọi $m$. Vậy hàm số luôn có cực trị. Tọa độ hai điểm cực trị: tại $x=0$: $y(0)=m+1$; tại $x=-2$: $y(-2)=-2+m+\frac{1}{-1}=m-3$. Khoảng cách: $$d=\sqrt{(0-(-2){)}^2+((m+1)-(m-3){)}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}.$$ Vậy với mọi $m$, hàm số luôn có cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng $\sqrt{20}$. (đpcm)