Ông A dự định sử dụng hết $5m^2$ kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi chiều rộng là $x$ (m), chiều dài $2x$, chiều cao $h$ (m), với $x>0$, $h>0$. Diện tích kính (không nắp): đáy $2x^2$ cộng 4 mặt bên $2(2xh)+2(xh)=6xh$, nên $2x^2+6xh=5\Rightarrow h=\frac{5-2x^2}{6x}$, điều kiện $0<x<\sqrt{5/2}$.

Dung tích: $V=2x^{2}h=2x^2\cdot \frac{5-2x^2}{6x}=\frac{5x-2x^3}{3}$.

$V^{\prime }(x)=\frac{5-6x^2}{3}=0\Rightarrow x^2=\frac{5}{6}$, tức $x=\sqrt{\frac{5}{6}}\approx 0,9129$ (thỏa điều kiện). Vì $V^{\prime }>0$ khi $x<\sqrt{5/6}$ và $V^{\prime }<0$ khi $x>\sqrt{5/6}$ nên đây là điểm cực đại, cũng là GTLN.

$V_{\max }=\frac{10x}{9}=\frac{10}{9}\sqrt{\frac{5}{6}}\approx 1,0142$ m${}^3$.

Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm: $1,01$ m${}^3$.