Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$. Hai điểm cực trị là $(-1;4)$ và $(1;0)$. Khoảng cách $=\sqrt{(1-(-1){)}^2+(0-4{)}^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm cực tiểu xảy ra khi $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$. Theo bảng xét dấu: tại $x=1$, $f^{\prime }$ đổi từ $-$ sang $+$ (cực tiểu); tại $x=2$, đổi từ $+$ sang $-$ (cực đại); tại $x=3$, đổi từ $-$ sang $+$ (cực tiểu); tại $x=5$, đổi từ $+$ sang $-$ (cực đại). Vậy hàm số có $2$ điểm cực tiểu tại $x=1$ và $x=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số có dạng hình chữ W: hàm tăng – giảm – tăng – giảm – tăng, nên có hai điểm cực đại (hai đỉnh cao) và một điểm cực tiểu (đáy giữa). Vậy số điểm cực trị là $2+1=3$. Chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-3x+2$ có $y^{\prime }=3x^2-3$. Cho $y^{\prime }=0$ ta được $x=\pm 1$. Vì $y^{\prime }=3(x-1)(x+1)$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x=-1$, hàm số đạt cực đại tại $x=-1$. Giá trị cực đại $y_{CD}=(-1{)}^3-3(-1)+2=-1+3+2=4$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+3}{x+1}$ có $y^{\prime }=\frac{2(x+1)-(2x+3)}{(x+1{)}^2}=\frac{-1}{(x+1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne -1$. Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định và không có điểm cực trị. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+3}{x+1}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x)(x+1)-(x^2+3)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-3}{(x+1{)}^2}=\frac{(x-1)(x+3)}{(x+1{)}^2}$. $y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=-3$. Xét dấu: trên $(-\infty ;-3)$, $y^{\prime }>0$; trên $(-3;-1)$, $y^{\prime }<0$; trên $(-1;1)$, $y^{\prime }<0$; trên $(1;+\infty )$, $y^{\prime }>0$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=-3$ với $y_{CĐ}=\frac{9+3}{-2}=-6$ và đạt cực tiểu tại $x=1$ với $y_{CT}=\frac{1+3}{2}=2$. Do đó mệnh đề đúng là 'Cực tiểu của hàm số bằng 2'.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)=0\Rightarrow x=1$ hoặc $x=3$. Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm tại $x=1$ nên điểm cực đại là $x=1$, với $y(1)=1-6+9=4$. Tổng hoành độ và tung độ: $1+4=5$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=4x^3-2x=2x(2x^2-1)=0$ tại $x=0$, $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. Tại $x=0$: $y=1$ (cực đại, dương). Tại $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$: $y=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+1=\frac{3}{4}$ (cực tiểu, dương). Cả 3 điểm cực trị đều có tung độ dương. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số:
- A: $y=\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}$, có $y^{\prime }=1-\frac{1}{x^2}=0\iff x=\pm 1$, đổi dấu qua các điểm này nên có cực trị.
- B: $y=\frac{2x-2}{x+1}$, $y^{\prime }=\frac{2(x+1)-(2x-2)}{(x+1{)}^2}=\frac{4}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$. Đạo hàm không đổi dấu nên hàm số không có cực trị.
- C: $y=x^2-2x+1=(x-1{)}^2$ có $y^{\prime }=2(x-1)=0\iff x=1$, đổi dấu từ âm sang dương nên có cực tiểu tại $x=1$.
- D: $y=-x^3+x+1$ có $y^{\prime }=-3x^2+1=0\iff x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$, đổi dấu nên có cực trị.
Vậy hàm số không có cực trị là $y=\frac{2x-2}{x+1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=x^3-x^2-5x-3$. Thử $x=-1$: $-1-1+5-3=0$, nên $y^{\prime }=(x+1)(x^2-2x-3)=(x+1{)}^2(x-3)$. Dấu của $y^{\prime }$: $y^{\prime }>0$ với mọi $x\ne 3$ (vì $(x+1{)}^2\ge 0$ và $x-3$ chỉ âm khi $x<3$, nhưng khi $x<-3$... kiểm tra: với $x<3$, $x-3<0$? Không — xét kỹ: với $x<-1$, $(x+1{)}^2>0$, $x-3<0$ thì $y^{\prime }<0$? Thử $x=-4$: $(-3{)}^2(-7)=-63<0$. Vậy $y^{\prime }<0$ khi $x<-1$? Thử lại $x=-4$ trong $y^{\prime }$ trực tiếp: $-64-16+20-3=-63<0$. Đúng. Với $-1<x<3$: thử $x=0$: $-3<0$. Với $x>3$: thử $x=4$: $64-16-20-3=25>0$. Vậy $y^{\prime }$ âm trên $(-\infty ;3)$ (trừ $x=-1$ nơi $y^{\prime }=0$ nhưng không đổi dấu) và dương trên $(3;+\infty )$. Hàm số nghịch biến rồi đồng biến, đạt cực tiểu tại $x=3$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+3}{x+1}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x)(x+1)-(x^2+3)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-3}{(x+1{)}^2}=\frac{(x-1)(x+3)}{(x+1{)}^2}$. $y^{\prime }=0$ khi $x=1$ hoặc $x=-3$. Xét dấu: trên $(-\infty ;-3)$, $y^{\prime }>0$; trên $(-3;-1)$, $y^{\prime }<0$; trên $(-1;1)$, $y^{\prime }<0$; trên $(1;+\infty )$, $y^{\prime }>0$. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ với $y_{CT}=\frac{1+3}{1+1}=2$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }$ đổi dấu $+$ thành $-$ tại $x=-2$ (cực đại), không đổi dấu tại $x=0$ (không phải cực trị), đổi dấu $-$ thành $+$ tại $x=2$ (cực tiểu).
a) Đúng: hàm số có 2 điểm cực trị là $x=-2$ và $x=2$... nhưng đề nói 3 điểm cực trị — xét lại: các điểm mà $f^{\prime }(x)=0$ là $-2,0,2$, nhưng chỉ $x=-2$ và $x=2$ là điểm cực trị (tại $x=0$, $f^{\prime }$ âm ở cả hai bên nên không phải cực trị). Vậy khẳng định 'có 3 điểm cực trị' là SAI.
b) Đúng: $f^{\prime }$ đi từ $+$ sang $-$ qua $x=-2$ nên $x=-2$ là điểm cực đại.
c) Sai: trên $(-2;2)$, $f^{\prime }(x)\le 0$ (bằng 0 chỉ tại $x=0$), nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2;2)$, không đồng biến.
d) Sai: $y=f(2x-4)$ đạt cực tiểu khi $2x-4=2$ (điểm cực tiểu của $f$), tức $x=3$, không phải $x=2$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=0$, $f^{\prime }(x)=0$ nhưng $f^{\prime }$ âm ở cả hai bên nên $x=0$ không phải điểm cực trị. Hàm số chỉ có 2 điểm cực trị ($x=-2$ và $x=2$).
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=-2$, nên $x=-2$ là điểm cực đại.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng $(-2;2)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ (trừ $f^{\prime }(0)=0$), nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=f(2x-4)$ đạt cực tiểu khi $2x-4=2\iff x=3$, không phải $x=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-3x^2+4$ xác định trên $\mathbb{R}$, nên a) đúng. Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$; $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Trên $(0;2)$, $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến, b) sai. Điểm cực đại $A(0;4)$ (vì $y^{\prime }$ đổi dấu từ + sang − tại $x=0$), điểm cực tiểu $B(2;0)$ (vì $y^{\prime }$ đổi dấu từ − sang + tại $x=2$). Đường thẳng qua $A(0;4)$ và $B(2;0)$ có hệ số góc $k=\frac{0-4}{2-0}=-2$, phương trình $y=-2x+4\iff 2x+y-4=0$, nên c) đúng. Diện tích tam giác $OAB$ với $O(0;0)$, $A(0;4)$, $B(2;0)$: $S=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2=4$, nên d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đa thức nên tập xác định là $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x(x-2)<0$ trên $(0;2)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị là $A(0;4)$, $B(2;0)$; đường thẳng qua chúng là $y=-2x+4\iff 2x+y-4=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_{OAB}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm cực tiểu $x_1$ và điểm cực đại $x_2$ theo định nghĩa chính là các điểm cực trị của hàm số $y=f(x)$, nên khẳng định A đúng. Khẳng định B sai vì $f(x_1),f(x_2)$ là các giá trị cực trị (cực đại, cực tiểu), không phải điểm cực trị. Các khẳng định C và D sai vì đề bài không cho biết vị trí tương đối của $x_1,x_2$ trên trục hoành hay so sánh giá trị $f(x_1),f(x_2)$ (ví dụ hàm $y=-x^3+3x$ có điểm cực tiểu $x=1$ và điểm cực đại $x=-1$, khi đó $x_1>x_2$ và $f(x_1)<f(x_2)$; còn hàm $y=x^3-3x$ có $x_1=-1<x_2=1$ và $f(x_1)>f(x_2)$). Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số:
1. $y=x^3+3x^2\Rightarrow y^{\prime }=3x^2+6x=3x(x+2)$, đổi dấu qua $x=0$ và $x=-2$ nên có cực trị.
2. $y=x^3-x\Rightarrow y^{\prime }=3x^2-1=0\Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$, $y^{\prime }$ đổi dấu nên có cực trị.
3. $y=x^4-3x^2+2\Rightarrow y^{\prime }=4x^3-6x=2x(2x^2-3)=0\Rightarrow x=0,\pm \sqrt{3/2}$, $y^{\prime }$ đổi dấu nên có cực trị.
4. $y=x^3\Rightarrow y^{\prime }=3x^2\ge 0$ với mọi $x$, không đổi dấu nên không có cực trị.
Vậy chỉ có 1 hàm số (hàm số 4) không có cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{x^2+1}$ có $y^{\prime }=\frac{-2x}{(x^2+1{)}^2}$, $y^{\prime }=0$ khi $x=0$. Theo bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;0)$, nghịch biến trên $(0;+\infty )$, đạt cực đại (cũng là GTLN) bằng $1$ tại $x=0$. Khi $x\to \pm \infty$ thì $y\to 0$ nhưng $y>0$ với mọi $x$, nên hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 (0 không thuộc tập giá trị). Do đó: A sai vì không có GTNN bằng 0; B sai vì GTLN bằng 1 chứ không phải 0; C sai vì tồn tại GTLN bằng 1; D đúng vì hàm số có đúng một điểm cực trị (điểm cực đại $x=0$).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x(x+1)(x+2{)}^2$ với nghiệm $x=-2$ (nghiệm kép), $x=-1$, $x=0$. Xét dấu $f^{\prime }$: với $x<-2$, cả $x<0$ và $x+1<0$ nên $f^{\prime }(x)>0$; với $-2<x<-1$, tương tự $f^{\prime }(x)>0$; với $-1<x<0$, $x<0$, $x+1>0$ nên $f^{\prime }(x)<0$; với $x>0$, $f^{\prime }(x)>0$. Vậy $f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-1$ (từ dương sang âm: điểm cực đại) và tại $x=0$ (từ âm sang dương: điểm cực tiểu); tại $x=-2$, $f^{\prime }$ không đổi dấu nên không phải điểm cực trị. Hàm số có 2 điểm cực trị. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=3x^2-4x+1=0\iff x=\frac{1}{3}$ hoặc $x=1$. Vì hệ số $a=3>0$, hàm đạt cực đại tại $b=\frac{1}{3}$ và cực tiểu tại $a=1$. Do đó $2025a-2026b=2025\cdot 1-2026\cdot \frac{1}{3}=2025-\frac{2026}{3}=\frac{6075-2026}{3}=\frac{4049}{3}$. Lưu ý: nếu đề hiểu $a=\frac{1}{3},b=1$ (theo thứ tự nghiệm) thì kết quả là $675-2026=-1351$; nhưng theo định nghĩa cực tiểu tại $a$, cực đại tại $b$ thì $a=1,b=\frac{1}{3}$, kết quả $\frac{4049}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số $y=f(x)$ là đường cong bậc ba với một điểm cực đại tại $x=-2$ (giá trị $y=2$) và một điểm cực tiểu tại $x=0$ (giá trị $y=-2$). Tại hai điểm này, đồ thị đổi chiều đi lên thành đi xuống (cực đại) và đi xuống thành đi lên (cực tiểu), nên hàm số có đúng 2 điểm cực trị. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ trên $[-2;3]$: $f^{\prime }(x)=0$ tại $x=-1$, $x=1$, $x=2$ và một điểm sau $x=2$. Xét dấu: trên $(-2;-1)$ thì $f^{\prime }(x)>0$, trên $(-1;1)$ thì $f^{\prime }(x)<0$ (đồ thị xuống dưới trục hoành, chạm giá trị $-3$), nên $x=-1$ là điểm cực đại. Tại $x=1$ và $x=2$, đồ thị $f^{\prime }$ chỉ chạm trục hoành rồi đi xuống lại (dấu $f^{\prime }$ không đổi, vẫn âm), nên không phải điểm cực trị. Sau $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương, cho thêm 1 điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị. Đáp án C.