Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm thỏa mãn $f^{\prime }(1-3x)=x^2+2x$, $\forall x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho ứng với mỗi $m$ hàm số $g(x)=f(2x-4\sqrt{2x+1}+m)$ có đúng $2$ điểm cực trị thuộc khoảng $(0;24)$?

Đặt $1-3x=t\Rightarrow x=\frac{1-t}{3}$. Khi đó $f^{\prime }(t)={\left(\frac{1-t}{3}\right)}^2+2\left(\frac{1-t}{3}\right)=\frac{1}{9}(t-1)(t-7)$. Đặt $u(x)=2x-4\sqrt{2x+1}$ trên $(0;24)$, ta có $u^{\prime }(x)=2-\frac{4}{\sqrt{2x+1}}=0\iff x=\frac{3}{2}$. Bảng biến thiên của $u(x)$ trên $(0;24)$ cho $u(0)=-4$, $u\left(\frac{3}{2}\right)=-5$, $u(24)=20$. Hàm số $g(x)$ có đúng 2 cực trị khi phương trình $u(x)+m=1$ và $u(x)+m=7$ tạo ra đúng 1 nghiệm đơn khác $\frac{3}{2}$ trên $(0;24)$. Điều này dẫn đến $6\le m\le 11$ hoặc $-19<m\le -13$, tổng cộng có $6+6=12$ giá trị nguyên. Chọn A.