Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M$ thoả mãn $\overrightarrow{MO}=(1;-2;3)$. Toạ độ của $M$ là

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(\alpha ):x+2y+3z-6=0$ cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng

Giả sử $F(x)$ và $G(x)$ là hai nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ sao cho $F(1)-G(1)=2$. Giá trị của $G(5)-F(5)$ bằng

Với $a,b$ là các số thực dương tùy ý và $\alpha$ là số thực, mệnh đề nào dưới đây sai?

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như hình bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Cho khối nón có chu vi đáy bằng $10\pi$, đường cao bằng $12$. Thể tích của khối nón đã cho bằng

Tập nghiệm của bất phương trình $2^{x^2}<16$ chứa bao nhiêu số nguyên?

Đồ thị trong hình bên là của một trong 4 hàm số sau. Đó là hàm số nào?

Tập xác định của hàm số $y={\log }_2(x+1)+{\log }_2(3-x)$ là

Mô đun của số phức $z=i(2-3i)$ bằng

Cho cấp số cộng $(u_n)$ với $u_2=3,u_6=5$. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực đại?

Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ là

Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như hình bên. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f(x)+1$ trên $[-1;3]$ bằng

Với $a,b$ là các số thực dương khác $1$ thỏa mãn $a^3=b^2$. Giá trị của biểu thức ${\log }_a{b}^4$ bằng

Cho hai số phức $z_1=3-2i$ và $z_2=1-3i$. Phần ảo của số phức $z=z_1+2z_2$ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $\sqrt{3}a$, $SA=a$ và $SA$ vuông góc với $(ABCD)$. Góc giữa $(SCD)$ và $(ABCD)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A(1;-2;0),B(2;-1;3),C(0;-1;1)$. Đường trung tuyến $AM$ của tam giác $ABC$ có phương trình là

Biết ${\int }_{-1}^{2}f(x)dx=7$ và ${\int }_{-1}^{0}f(x)dx=2$, giá trị của ${\int }_0^2(f(x)+2)dx$ bằng

Cho số phức $z=3-4i$. Trong mặt phẳng $Oxy$, gọi $M,N,P$ lần lượt là điểm biểu diễn của số phức $z,-z$ và $\bar{z}$. Mệnh đề nào sau đây sai?

Có một dãy ghế gồm $6$ chiếc xếp thành một hàng ngang kề nhau. Xếp ngẫu nhiên $6$ người gồm $3$ học sinh nam, $2$ học sinh nữ và $1$ giáo viên ngồi vào dãy ghế đó, mỗi người ngồi một chiếc. Xác suất để giáo viên ngồi kề và ở giữa $2$ học sinh nữ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=(x^3-1)(3x-1)$, $\forall x\in \mathbb{R}$. Số điểm cực trị của hàm số $g(x)=3f(x-4)+5$ là

Họ các nguyên hàm của hàm số $f(x)=2^x+\sin 2x$ là

Giả sử $a,b$ là các số thực dương khác $1$, đồ thị các hàm số $y={\log }_{a}x$ và $y={\log }_{b}x$ như hình bên. Đường thẳng $x=3$ cắt trục hoành, đồ thị hàm số $y={\log }_{a}x$ và $y={\log }_{b}x$ lần lượt tại $H,A$ và $B$. Biết $HA=2HB$, mệnh đề nào dưới đây đúng?

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z}{1}$ và hai điểm $A(1;5;2),B(3;1;-2)$. Điểm $M$ thuộc $\Delta$ sao cho tam giác $MAB$ vuông tại $M$. Hoành độ của $M$ bằng

Biết rằng phương trình $z^2+4z+7=0$ có hai nghiệm phức là $z_1$ và $z_2$. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $A(2;1)$ và $M,N$ lần lượt là điểm biểu diễn của $z_1$ và $z_2$. Diện tích tam giác $AMN$ bằng

Cho hàm số $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ ($a,b,c,d\in \mathbb{R}$) có bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$ như sau:

Trong các hệ số $a,b,c,d$ có bao nhiêu số dương, biết $f(-1)=0$?

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A^{\prime }C$ và $B{B}^{\prime }$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(2;1;1),B(0;3;-1)$ và mặt phẳng $(P):2x+y+z-4=0$. Gọi $I$ là giao điểm của $AB$ và $(P)$. Tung độ của $I$ bằng

Cho khối cầu $(S)$ đường kính $AB$ có thể tích bằng $8$. Khối cầu tâm $A$, bán kính $AB$ có thể tích bằng

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số $g(x)=f(1-2x)$ đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

Người ta sử dụng $6$ miếng tôn hình vuông, mỗi miếng có diện tích $16{\text{ cm}}^2$ để làm các mặt của một cái hộp hình lập phương. Thể tích của cái hộp được tạo thành bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Đồ thị hàm số $y=f(x)$ tạo với trục hoành, trục tung và đường thẳng $x=4$ ba hình phẳng có diện tích $S_1=S_2=S_3=\frac{4}{3}$. Giá trị của tích phân ${\int }_0^{4}f(x)dx$ bằng

Trên tập số phức, xét phương trình $z^2-2mz+7m-6=0$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $z_1,z_2$ thỏa mãn $|1+z_1|=|1+z_2|$?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang, $(AD\parallel BC)$, $AD=2a,AB=BC=CD=a$, các cạnh bên bằng nhau, góc giữa $SC$ và $(SAD)$ bằng $30^{\circ }$. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để bất phương trình sau có nghiệm, đồng thời với mỗi $m$, tập nghiệm của nó chứa không quá $24$ số nguyên?
${\log }_2(2x^2+m)\ge 2+{\log }_2(x^2-x+1)$

Một chiếc bồn chứa xăng có dạng hình trụ dài $8,5\text{ m}$ và đường kính đáy bằng $2,4\text{ m}$. Người ta đo được khoảng cách từ mép trên của chiếc bồn đến mặt xăng nằm ngang là $0,6\text{ m}$. Tính thể tích xăng chứa trong chiếc bồn đó (bỏ qua độ dày thành bồn, kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn).

Xét các số phức $z,w$ thỏa mãn $|z+i|=|z-1+2i|$ và $|w|=1$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=|z-5+3i|-|z-w|$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, có bao nhiêu mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng $\Delta :\frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{3}$ và ${\Delta }^{\prime }:\frac{x-3}{4}=\frac{y-3}{-5}=\frac{z+1}{-1}$, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z-1{)}^2=12$?

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm thỏa mãn $f^{\prime }(1-3x)=x^2+2x$, $\forall x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho ứng với mỗi $m$ hàm số $g(x)=f(2x-4\sqrt{2x+1}+m)$ có đúng $2$ điểm cực trị thuộc khoảng $(0;24)$?

Có bao nhiêu số nguyên $a$ sao cho ứng với mỗi $a$, tồn tại đúng $1$ số nguyên dương $b$ thỏa mãn
${\log }_2\left(1+\frac{a}{8}+\frac{b}{4}\right)={\log }_3\left(1+\frac{a}{4}+\frac{b}{2}\right)$?

Một chiếc cối giã gạo bằng đá của đồng bào dân tộc ở tỉnh Hà Giang có dạng khối tròn xoay, phía bên ngoài là hình trụ, cao $50\text{ cm}$. Mặt cắt của chiếc cối bởi mặt phẳng đi qua tâm của đáy và vuông góc với đáy như hình bên. Biết rằng đường cong bên trong mặt cắt là một đường parabol đỉnh tại $I$. Biết $AB=70\text{ cm},CD=60\text{ cm}$ và $IJ=40\text{ cm}$, thể tích phần đá của chiếc cối gần nhất với giá trị nào sau đây?

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $M(5;1;10),A(9;15;-6),B(-3;9;6)$ và mặt phẳng $(\alpha ):2x+y-2z+27=0$. Mặt cầu $(S)$ đi qua $A,B$ và tiếp xúc với $(\alpha )$ tại $C$. Đoạn thẳng $MC$ có độ dài lớn nhất bằng

Biết rằng $F(x)=\frac{1}{2}{x}^2$ là một nguyên hàm của mỗi hàm số $y=\frac{f(x)}{\sin x+2}$ và $y=\frac{g(x)}{\cos x+2}$ trên $\mathbb{R}$. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=f(x),y=g(x),x=0$ và $x=\frac{\pi }{2}$ bằng

Cho hàm số $f(x)=2x^3-9x^2+mx$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu số nguyên $m<2024$ để ${\max }_{[0;3]}f(x)=f(3)$?