Trong không gian $Oxyz$, có bao nhiêu mặt phẳng song song với cả hai đường thẳng $\Delta :\frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{3}$ và ${\Delta }^{\prime }:\frac{x-3}{4}=\frac{y-3}{-5}=\frac{z+1}{-1}$, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+(y-1{)}^2+(z-1{)}^2=12$?

Vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_{\Delta }=(2;1;3)$ và ${\vec{u}}_{{\Delta }^{\prime }}=(4;-5;-1)$. Vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=[{\vec{u}}_{\Delta },{\vec{u}}_{{\Delta }^{\prime }}]=(14;14;-14)\parallel (1;1;-1)$. Mặt phẳng cần tìm có dạng $(\alpha ):x+y-z+D=0$. Mặt cầu có tâm $I(1;1;1)$, bán kính $R=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$. Vì $(\alpha )$ tiếp xúc với $(S)$ nên $d(I,(\alpha ))=R\iff \frac{|1+1-1+D|}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\iff |D+1|=6\iff D=5$ hoặc $D=-7$. Với $D=5$, lấy $M_1(-1;-1;3)\in \Delta$, thay vào thấy $-1-1-3+5=0\Rightarrow \Delta \subset ({\alpha }_1)$ (loại). Với $D=-7$, lấy $M_2(3;3;-1)\in {\Delta }^{\prime }$, thay vào thấy $3+3-(-1)-7=0\Rightarrow {\Delta }^{\prime }\subset ({\alpha }_2)$ (loại). Vậy không có mặt phẳng nào thỏa mãn. Chọn C.