Có bao nhiêu số nguyên $a$ sao cho ứng với mỗi $a$, tồn tại đúng $1$ số nguyên dương $b$ thỏa mãn
${\log }_2\left(1+\frac{a}{8}+\frac{b}{4}\right)={\log }_3\left(1+\frac{a}{4}+\frac{b}{2}\right)$?

Đặt $t=\frac{a}{8}+\frac{b}{4}$. Phương trình trở thành ${\log }_2(1+t)={\log }_3(1+2t)$. Xét hàm số $f(t)={\log }_2(1+t)-{\log }_3(1+2t)$ với $t>-\frac{1}{2}$. Hàm số có đúng 2 nghiệm là $t=0$ và $t=1$. Do đó $\frac{a}{8}+\frac{b}{4}=0\iff a+2b=0$ hoặc $\frac{a}{8}+\frac{b}{4}=1\iff a+2b=8$. Để tồn tại số nguyên $b$ thì $a$ phải là số chẵn, đặt $a=2k$. Khi đó $b=-k$ hoặc $b=4-k$. Để có đúng 1 số nguyên dương $b$, ta cần $-k\le 0<4-k\iff 0\le k<4$. Suy ra $k\in \{0;1;2;3\}$, tương ứng $a\in \{0;2;4;6\}$ (có $4$ số nguyên). Chọn C.