Cho hàm số $y=f(x)$ có $f^{\prime }(x)$ liên tục trên $[0;2]$ và $f(2)=16$; ${\int }_0^{2}f(x)dx=4$. Tính $I={\int }_0^{1}x{f}^{\prime }(2x)dx$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=2x$, khi đó $x=\frac{t}{2}$, $dx=\frac{dt}{2}$, đổi cận: $x=0\to t=0$, $x=1\to t=2$. Suy ra $$I={\int }_0^{1}x{f}^{\prime }(2x)dx={\int }_0^2\frac{t}{2}{f}^{\prime }(t)\cdot \frac{dt}{2}=\frac{1}{4}{\int }_0^{2}t{f}^{\prime }(t)dt.$$ Tích phân từng phần: $${\int }_0^{2}t{f}^{\prime }(t)dt=[tf(t){]}_0^2-{\int }_0^{2}f(t)dt=2f(2)-4=2\cdot 16-4=28.$$ Vậy $I=\frac{28}{4}=7$. Đáp án A.