Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình ${\left(7-3\sqrt{5}\right)}^{x^2}+m{\left(7+3\sqrt{5}\right)}^{x^2}=2^{x^2-1}$ có đúng bốn nghiệm phân biệt.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $c=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$, khi đó $\frac{7+3\sqrt{5}}{2}=\frac{1}{c}$ vì $(7-3\sqrt{5})(7+3\sqrt{5})=4$. Chia hai vế cho $2^{x^2}$, phương trình trở thành $c^{x^2}+m{c}^{-x^2}=\frac{1}{2}$. Đặt $t=x^2\ge 0$, $y=c^t$ với $0<c<1$ nên $y\in (0,1]$ và $y$ là hàm đơn điệu giảm theo $t$. Phương trình: $y^2-\frac{1}{2}y+m=0$. Muốn có đúng 4 nghiệm $x$ phân biệt, cần hai nghiệm $t_1\ne t_2$ đều dương, tức hai nghiệm $y_1\ne y_2$ thuộc $(0,1)$. Điều kiện: $\Delta =\frac{1}{4}-4m>0\Rightarrow m<\frac{1}{16}$; tích hai nghiệm $m>0$ và tổng $\frac{1}{2}<1$ nên khi $0<m<\frac{1}{16}$ cả hai nghiệm đều dương và nhỏ hơn 1. Vậy $0<m<\frac{1}{16}$, chọn A.