Cho hàm số $y=f(x)$. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Hàm số $y=f(2+e^x)$ nghịch biến trên khoảng

Xét hàm số $g(x)=f(2+e^x)$. Ta có đạo hàm:
$g^{\prime }(x)=e^x{f}^{\prime }(2+e^x)$.
Vì $e^x>0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên $g^{\prime }(x)<0\iff f^{\prime }(2+e^x)<0$.
Dựa vào đồ thị $y=f^{\prime }(x)$, ta thấy $f^{\prime }(t)<0$ khi $t\in (-1;2)$ hoặc $t>3$.
Đặt $t=2+e^x$. Do $e^x>0$ nên $t=2+e^x>2$.
Do đó điều kiện $f^{\prime }(t)<0$ trở thành:
$2<2+e^x<3\iff 0<e^x<1\iff x<0$, tức khoảng $(-\infty ;0)$.
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;0)$.