Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm là $f^{\prime }(x)=x^2(x^2-4)(x^2-3x+2)(x-3)$. Hàm số có bao nhiêu điểm cực đại?

Ta có: $f^{\prime }(x)=x^2(x-2)(x+2)(x-1)(x-2)(x-3)=x^2(x-2{)}^2(x+2)(x-1)(x-3)$.
Các nghiệm của $f^{\prime }(x)=0$ là:
- $x=0$ (nghiệm bội 2)
- $x=2$ (nghiệm bội 2)
- $x=-2$ (nghiệm bội 1, đổi dấu)
- $x=1$ (nghiệm bội 1, đổi dấu)
- $x=3$ (nghiệm bội 1, đổi dấu)
Xét dấu $f^{\prime }(x)$:
- Khi qua $x=-2$: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương $⟹$ điểm cực tiểu.
- Khi qua $x=1$: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm $⟹$ điểm cực đại.
- Khi qua $x=3$: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương $⟹$ điểm cực tiểu.
Vậy hàm số có đúng $1$ điểm cực đại (tại $x=1$).