Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ.



Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $f(\sin x)=3m+1$ có nghiệm thuộc khoảng $(0;\pi )$. Tổng các phần tử của $S$ bằng

Với $x\in (0;\pi )$, đặt $t=\sin x\Rightarrow t\in (0;1]$. Dựa vào đồ thị, khi $t\in (0;1]$, giá trị của hàm số $f(t)$ biến thiên trong đoạn $[-1;1]$. Để phương trình có nghiệm thì $-1\le 3m+1\le 1\iff -2\le 3m\le 0\iff -\frac{2}{3}\le m\le 0$. Vì $m$ nguyên nên $m=0$. Tổng các phần tử của $S$ là $0$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn C.